平面向量数量积的运算
共301题

· 平面向量数量积的运算

平面向量数量积的运算
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题型：单选题

单选题 · 5 分

9.设为坐标原点，，若满足，则的最大值为

A10

正确答案

解析

1.先画出可行域，将表示成的形式，然后设，将其平移到点时，最大为6。故选C

考查方向

本题主要考查线性规划的知识，考查向量的数量积的坐标表示

解题思路

1.先画出可行域，

2.将表示成的形式，然后设，将其平移到点时，最大为6.

易错点

1.无法将正确表示出来，

2.可行域画错，导致结果出错。

知识点

平面向量数量积的运算其它不等式的解法

题型：填空题

填空题 · 5 分

16.已知是单位圆上互不相同的三点，且满足，则的最小值为 .

正确答案

解析

1.设，

则，由正弦定理得

则

所以=，

所以当，时，取到最小值为。

考查方向

本题主要考查向量的数量积运算，二次函数的最值，三角函数的化简以及函数的思想。

易错点

1.不能正确引入变量表示 2.无法将单位圆与的长度建立联系，导致没有思路。

知识点

向量的模单位向量平面向量数量积的运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

13.已知，若，则实数　　　．

正确答案

解析

由已知，．

因为，

所以，

解得．

应填2．

考查方向

本题主要考查平面向量的坐标运算，向量的垂直等知识，难度不大，考查了运算能力。

解题思路

本题主要考查平面向量的坐标运算，向量的垂直等知识。

解题步骤如下：

①由向量垂直的条件，列出方程；

②解出方程，即得答案。

易错点

本题易把向量的平行和垂直的条件混淆，从而出现错误。

知识点

平面向量数量积的运算量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

3．已知平面向量、满足，，与的夹角为，且，则实数的值为（）

正确答案

解析

，再将后面两个向量的乘积展开，得到，将代入，得到，所以得到

考查方向

本题主要考察向量的基本运算，以及向量的垂直的概念与性质，属中档题，高考考察频率较高

解题思路

先计算与的数量积，将中的两个向量乘开，然后根据垂直数量积为0，列出方程解出

易错点

忽略了与的夹角为钝角，那么它们的数量积应该是负的

知识点

平面向量数量积的运算

题型：填空题

填空题 · 4 分

14．在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则_________．

正确答案

解析

由题意得：，又,因为DEAF四点共圆，因此

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：单选题

单选题 · 3 分

3.已知向量a，b满足a·(a-b)=2，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角为

正确答案

解析

由所以，再由，可得向量夹角为，故选D。

考查方向

本题主要考查了向量运算，向量夹角。

解题思路

由已知先求，再结合，从而就可求得向量夹角。

易错点

向量的夹角的余弦公式不清楚。

知识点

平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角

题型：单选题

单选题 · 5 分

6. 若成等比数列，则下列三个数：① ② ③，必成等比数列的个数为（）

正确答案

解析

由题可知：等比数列的相邻两项相乘仍然是等比数列。

A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查等比数列的性质

解题思路

代入特值计算或由等比数列的基本性质，即可得到结果。

A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

易错点

本题易在代特值时发生错误。

知识点

平面向量数量积的运算等比数列的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，.若对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点P使得成立，那么的取值范围是（）

正确答案

解析

如图，

建立直角坐标系，则E（0,4）F（6,4）

（1）当P点在CD上时，设P（x,0）,则,

因为，所以

所以当或时，方程有一个根，当时，方程有两个根。

（2）当P点在AB上时，设P(x,6) ,则,

因为，所以

所以当或时，方程有一个根，当时，方程有两个根。

（3）当P点在AD上时（当P点在BC上的情况与在AD上相同），设P（0，y）

因为，所以

所以当或时，方程有一个根，当时，方程有两个根。

综上，当时，在AD和BC上各存在两个点P，在AB上也存在两个点P，共6个。

考查方向

本题主要考查向量的数量积的运算、分类讨论的思想方法以及二次函数的根的个数，难度中档。在高考中，向量的数量积常结合三角形或四边形等几何图形以及三角函数进行出题。

解题思路

以D点为坐标原点建立直角坐标系，再分别讨论P点在AB，CD，以及AD和BC上的时候的情况，计算向量的数量积，并判断方程根的个数。（P在AD和BC上情况是一样的，不必分开讨论）

易错点

不能很好的判断方程根的个数

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

7．如图，菱形的边长为2，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）

正确答案

解析

以点A坐标为原点建立如图所示的直角坐标系，因为菱形的边长为2，可以得到A(0,0),B(2,0),CD,M,所以可得，结合图象可得当目标函数经过C点时，Z取最大值为9.所以选D

考查方向

平面向量的应用简单线性规划

解题思路

建立适当的坐标系，利用线性规划理论，求目标函数最大值

易错点

没能正确建立坐标系

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

15.如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，E、F分别

为AD、CD的中点，则=__________．

正确答案

解析

考查方向

平面向量的线性运算及数量积运算.

解题思路

本题考查了平面向量的数量积运算，可采用基向量法也可采用坐标法.基向量法需要选择合适的基底，

由于已知菱形的边长且,所以应选择为基底，把用基向量表示出来，通过向量数量积的定义即可得解，

另外还可以尝试以为原点，建立平面直角坐标系，求出点的坐标，通过平面向量数量积的坐标运算亦可求解.

易错点

本题考查用基底表示时易错。

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

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