平面向量数量积的运算_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 5 分

15.已知O是坐标原点，点A的坐标为，若点为平面区域上的一个动点，则的最大值是____________.

正确答案

解析

无

考查方向

本题主要考查简单线性规划问题，向量积的运算等考点的理解

解题思路

画出约束直线，然后利用相关概念求解

易错点

线性规划作图时出现错误，向量积运算有误

知识点

平面向量数量积的运算其它不等式的解法

1

题型：简答题

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简答题 · 5 分

13．已知平面直角坐标系中，，，则向量在向量的方向上的投影是________．

正确答案

解析

向量a在向量b的方向上的投影是，

考查方向

向量的数量积的概念．

解题思路

利用向量的数量积性质求解

易错点

向量的在另一个向量上投影的概念理解有误

知识点

平面向量数量积的运算量积判断两个平面向量的垂直关系

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．已知中，，点在平面内，且，则的最大值为．

正确答案

10

解析

考查方向

本题主要考查了解三角形和平面向量及不等式

解题思路

本题考查解三角形和平面向量及不等式，解题思路如下：1、利用公式表示数量积；2、利用不等式求解。

易错点

本题必须注意数量积公式

知识点

向量的模平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9.在△ ABC中，BC=5，G，O分别为AABC的重心和外心，且•=5，则△ABC的形状是（）

A锐角三角形

B钝角三角形

C直角三角形

D上述三种情况都有可能

正确答案

B

解析

在△ABC中,G、O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD,则OD⊥BC,GD=∵,由,则,即, ∵BC=5，由余弦定理可得，cosC<0,即C为钝角

考查方向

本题主要考查向量数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则,运用余弦定理判断三角形形状

解题思路

运用重心和外心的性质，可得，又∵BC=5，，运用余弦定理即可判断三角形形状

易错点

向量的加法运算和数量积不会应用

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.已知双曲线C的方程为 , 其左、右焦点分别是F1、F2 ,已知点M坐标为（2，1)，双曲线C上点 P(x0,y0 ) (x0 ＞0，y0＞0) 满足，则S△PMF1 - S△PMF2 = ( )

A-1

B1

C2

D4

正确答案

C

解析

∵双曲线C的方程为

∴,由，可得

所以MP平分，结合平面知识可得，的内心在直线上，

所以点M(2，1)就是的内故

考查方向

本题主要考查双曲线几何性质和焦点三角形

解题思路

结合已知等式及平面几何知识得出点M是的内心，利用三角形面积计算公式计算即可

易错点

不会处理

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有6个不同的点P使得成立，那么的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

以为轴，为轴建立直角坐标系（如图所示），则．

（1）若点在上，设，所以，所以，因为，所以，所以当时有唯一解，当时有两解；

（2）若点在上，设，所以，所以，因为，所以，所以当或时有唯一解，当时有两解；

（3）若点在上，设，所以，所以，因为，所以，所以当时有唯一解，当时有两解；

（4）若点在上，设，所以，所以，因为，所以，所以当或时有唯一解，当时有两解；

综上所述，的取值范围是．

考查方向

本题主要考查了平面向量数量积的运算，在近几年的各省的高考题中出现的频率较高，常与三角函数、数列、解析几何等知识交汇命题．

解题思路

1．建立直角坐标系，写出点的坐标；

2．分别讨论点在上，得到关于或的二次函数；

3．逐段得到的范围及相应的解；

4．整合讨论结果，得到所求范围。

易错点

本题易在对的取值范围出现错误，易忽视．

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20. 已知两点分别在x轴和y轴上运动，且，若动点满足.

（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；

（II）一条纵截距为2的直线与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；

（III）直线与曲线C交于A、B两点，，试问：当t变化时，是否存在一直线，使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由

正确答案

解: (Ⅰ) 因为

即

所以

又因为,所以

即:,即

所以椭圆的标准方程为

(Ⅱ) 直线斜率必存在，且纵截距为,设直线为

联立直线和椭圆方程

得:

由,得

设

则 (1)

以直径的圆恰过原点

所以,

即

也即

即

将(1)式代入,得

即

解得,满足（*）式，所以

(Ⅲ)由方程组,得

设,则

所以

因为直线过点

所以的面积

,则不成立

不存在直线满足题意

解析

见答案

考查方向

本题主要考查动点的轨迹方程

解题思路

先求出动点运动的轨迹，然后判断是椭圆，然后根据椭圆的相关性质求解

易错点

找不到动点的运动规律，抓不住等量关系列出圆锥曲线方程，计算能力弱

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用定义法求轨迹方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．已知是单位圆上互不相同的三点，且满足，则的最小值为（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设：化简得：=。A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查平面向量

解题思路

1、在单位圆中表示出向量；

2、利用圆的性质求解，即可得到结果。A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

易错点

本题易在化简时发生错误。

知识点

向量的模平面向量数量积的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，左焦点为F(-l，0)，离心率为

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F的直线，与椭圆C交于A、B两点，设（其中1<入<3），求的取值范围，

正确答案

（1）；（2）．

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论．

（1）；

（2）由（其中1<入<3）知，直线l不水平，设l：x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2)

联立：消x得：(2+m2)y2-2my-1=0,得①

由（其中1<入<3）得y1= -λy2……② 则，

令t=,则0<t<,得……③。

=x1x2+y1y2=(my1-1)(my2-1)+y1y2=(1+m2)y1y2-m(y1+y2)+1=，

将③代入，得=，从而∈。

考查方向

本题考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系、平面向量等知识点．

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，解题步骤如下：

（1）利用e和c求a,b。

（2）联立直线与椭圆方程求解。

易错点

（1）第二问中的易丢对a的分类讨论。

知识点

平面向量数量积的运算椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.平行四边形ABCD中，· = 0，沿BD将四边形折起成直二面角A — BD — C，且 2 2 +| |2=4，则三棱锥A—BCD的外接球的表面积为（）

A

B

C4

D2

正确答案

C

解析

平行四边形ABCD中，∵,沿BD折成直二面角A-BD-C，∴三棱锥A—BCD的外接球的直径为AC,∵2 2 +| |2=4,外接球的半径为1，表面积为4

考查方向

本题主要考查球内接多面体，平面向量数量积德运算

解题思路

由已知，进而转化为，可得三棱锥A—BCD的外接球的直径为AC

易错点

求三棱锥外接球的半径不会计算

知识点

平面向量数量积的运算球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点