热门试卷

证明：

（当且仅当时等号成立），

解析：

，                                         （4分）

由，得                                （1分）

                            （1分）

或 （2分）

，

                                                    （2分）

又，

，                                                （2分）

，，

，                                               （2分）

另解：

      ①                               （4分）

由，得，

                                               （2分）

      ②           （2分）

由①、②得                      （2分）

又，

 （4分）

解析：（1）设，由题意，可知曲线为抛物线，并且有

，

化简，得抛物线的方程为：。

令，得或，

令，得或，

所以，曲线与坐标轴的交点坐标为和，，        （3分）

由题意可知，曲线为抛物线，过焦点与准线垂直的直线过原点，

点到的距离为，      （2分）

所以是以为焦点，以为准线的抛物线，其方程为：

（2）设，，由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，则直线的方程为，                 （1分）

则得，

所以         ①                                 （2分）

，

设弦的中点为，则

因为在直线上，所以

，即     ②

将②代入①，得，

（4分）

设，则，                                        （1分）

构造函数，。

由已知，当，即时，无最大值，所以弦长不存在最大值，                                                          （1分）

当时，有最大值，即弦长有最大值

（1）由已知，且，即，

∴，解得，∴椭圆方程为； ……………………3分

由与联立，

消去得，∴，，

∴所求弦长；            ……………………6分

（2）椭圆右焦点F的坐标为，

设线段MN的中点为Q，

由三角形重心的性质知，又，

∴，故得，

求得Q的坐标为；                               ……………………9分

设，则，

且，                             ……………………11分

以上两式相减得，

，

故直线MN的方程为，即。   ……………………13分

（1）设公差为d，公比为q，则

因为是单调递增的等差数列，

所以，

（2）