曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 15 分

已知是坐标系的原点，是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于,两点，弦的中点为，的重心为．

22. 求动点的轨迹方程；

23.设22题中的轨迹与轴的交点为，当直线与轴相交时，令交点为，求四边形

的面积最小时直线的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：焦点，显然直线的斜率存在，设，联立，消去得，，设，则，所以，所以，消去，得重心的轨迹方程为.

考查方向

本题考查了求抛物线的方程、四边形的面积公式、点到直线的距离公式、均值不等式等知识点。

解题思路

利用相关知识求抛物线方程；

易错点

对题中条件不知如何处理导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线：．

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：由已知及22题知，，

因为，所以//，(注：也可根据斜率相等得到)，，

点到直线的距离，所以四边形的面积

，

当且仅当，即时取等号，此时四边形的面积最小, 所求的直线的方程为 .

考查方向

本题考查了求抛物线的方程、四边形的面积公式、点到直线的距离公式、均值不等式等知识点。

解题思路

根据题中条件求出面积，再利用均值不等式求出面积的最值．

易错点

对题中条件不知如何处理导致出错。

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

21．已知：向量，O为坐标原点，动点M满足：.

（1）求动点 M 的轨迹 C 的方程；

（2）已知直线、都过点，且，、与轨迹C分别交于点D、E.是否存在这样的直线、,使得△BDE是等腰直角三角形?若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由.

正确答案

解：设点，则

∵

∴

∴点 M 的轨迹C是以为焦点，长轴长为 4 的椭圆

∴ ∴

∴ 动点M 的轨迹 C的方程为

（2）

由（1）知，轨迹C是椭圆，点是它的上顶点，

设满足条件的直线、存在，直线的方程为 ①

则直线的方程为，②

将①代入椭圆方程并整理得：，可得，则.

将②代入椭圆方程并整理得：，可得，则

由△BDE是等腰直角三角形得

∴或 ④

∵方程④或.

∴即满足条件的直线、存在，共有3组．

解析

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知识点

定义法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

3．曲线与坐标轴围成的面积是（）

A4

B

C3

D2

正确答案

C

解析

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知识点

定义法求轨迹方程

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

8．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

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知识点

定义法求轨迹方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13．设曲线的参数方程为(是参数，)，直线的极坐标方程为，若曲线C与直线只有一个公共点，则实数的值是__________。

正确答案

7

解析

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知识点

定义法求轨迹方程

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

13．由曲线与直线所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是________________.

正确答案

解析

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知识点

定义法求轨迹方程

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

8．若曲线与曲线在交点处有公切线，则（）

A

B

C1

D2

正确答案

C

解析

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定义法求轨迹方程

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20. 已知两点分别在x轴和y轴上运动，且，若动点满足.

（I）求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；

（II）一条纵截距为2的直线与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；

（III）直线与曲线C交于A、B两点，，试问：当t变化时，是否存在一直线，使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由

正确答案

解: (Ⅰ) 因为

即

所以

又因为,所以

即:,即

所以椭圆的标准方程为

(Ⅱ) 直线斜率必存在，且纵截距为,设直线为

联立直线和椭圆方程

得:

由,得

设

则 (1)

以直径的圆恰过原点

所以,

即

也即

即

将(1)式代入,得

即

解得,满足（*）式，所以

(Ⅲ)由方程组,得

设,则

所以

因为直线过点

所以的面积

,则不成立

不存在直线满足题意

解析

见答案

考查方向

本题主要考查动点的轨迹方程

解题思路

先求出动点运动的轨迹，然后判断是椭圆，然后根据椭圆的相关性质求解

易错点

找不到动点的运动规律，抓不住等量关系列出圆锥曲线方程，计算能力弱

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用定义法求轨迹方程

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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