曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知平面内的一个动点到直线的距离与到定点的距离之比为，点，设动点的轨迹为曲线。

（1）求曲线的方程；

（2）过原点的直线与曲线交于两点，求面积的最大值。

正确答案

见解析

解析

（1）设动点到直线的距离为，则，根据圆锥曲线的统一定义，点的轨迹为椭圆.

∵，∴，∴.

故椭圆的方程为.

（2）若直线存在斜率，设其方程为与椭圆的交点.

将代入椭圆的方程并整理得.

∴，

∴

.

又点到直线的距离，

∴，

① 当时，； ②当时，；

③当时，。

若直线的斜率不存在，则即为椭圆的短轴，∴，∴。

综上，的面积的最大值为，

知识点

定义法求轨迹方程

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题型：简答题

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简答题 · 7 分

选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角

（1）将的极坐标方程写成的形式

（2）在极坐标系中，以极点为坐标原点，以极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系。

若曲线：(为参数，)与有一个公共点在轴上，求的值

正确答案

见解析。

解析

(1)画图可知 ,即

(2)直线的直角坐标为，与轴的交点为，所以

知识点

定义法求轨迹方程

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题型：简答题

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简答题 · 7 分

在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为,将每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为。

（1）求矩阵的逆矩阵；

（2）求曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程。

正确答案

（1）;（2）

解析

（1）在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为.所以由旋转变换得到的公式即可求得矩阵M.再根据逆矩阵求出结论.

（2）将每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为,由于曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程.所以.所以在曲线上任取一点,通过NM的变换即可得到结论.

（1），，。 4分

（2），，

代入中得：。

故所求的曲线方程为：。 7分

知识点

定义法求轨迹方程

1

题型：简答题

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简答题 · 7 分

在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）。

（1）分别求出曲线和直线的直角坐标方程；

（2）若点在曲线上，且到直线的距离为1，求满足这样条件的点的个数。

正确答案

（1）,;（2）3

解析

（1）由曲线的极坐标方程为,两边分别乘以,再根据,即可将极坐标方程转化为直角坐标方程.由直线的参数方程为（为参数）,消去参数t可得直角坐标系中的直线方程.

（2）由圆心(2,0)到直线的距离为1.所以恰为圆半径的，所以圆上共有3个点到直线的距离为1.

（1）由得，故曲线的直角坐标方程为：，即

；由直线的参数方程消去参数得，

即。 4分

（2）因为圆心到到直线的距离为，恰为圆半径的，所以圆上共有3个点到直线的距离为1。 7分

知识点

定义法求轨迹方程

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

若以曲线y=f（x）任意一点M（x，y）为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N（x1 y1），以点N为切点作切线l1，且l∥l1，则称曲线y=f（x）具有“可平行性”，下列曲线具有可平行性的编号为　　，（写出所有满足条件的函数的编号）

①y=x3﹣x

②y=x+

③y=sina

④y=（x﹣2）2+lnx。

正确答案

②③

解析

由题意得，曲线具有可平行性的条件是：方程y′=a（a是导数值）至少有两个根，

①、由y′=3x2﹣1知，当y′=﹣1时，x的取值唯一，只有0，不符合题意；

②、由y′=1﹣=a（x≠0且a≠1），即=1﹣a，此方程有两不同的个根，符合题意；

③、由y'=cosx和三角函数的周期性知，cosx=a（﹣1≤a≤1）的解有无穷多个，符合题意；

④、由y'=2x﹣4+（x＞0），令2x﹣4+=a，则有2x2﹣（4+a）x+1=0，当△=0时解唯一，不符合题意，

知识点

定义法求轨迹方程

1

题型：简答题

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简答题 · 7 分

选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）。

（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，写出的参数方程。与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）是圆，是直线。

的普通方程为，圆心，半径。

的普通方程为。 ……………2分

因为圆心到直线的距离为，

所以与只有一个公共点。 ……………4分

（2）压缩后的参数方程分别为

：（为参数）；：（t为参数）。

化为普通方程为：：，：，……………6分

联立消元得，

其判别式，……………7分

所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同。

知识点

定义法求轨迹方程

1

题型：简答题

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简答题 · 7 分

选修4—2：矩阵与变换

设矩阵。

（1）若，求矩阵M的逆矩阵；

（2）若曲线C：在矩阵M的作用下变换成曲线：，

求的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，M的行列式det(M)=-5，故所求的逆矩阵.　…3分

（2）设曲线C上任意一点，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点

，则，即

又点在曲线上，所以，则，

即为曲线C的方程，

又已知曲线C的方程为，

比较系数可得，解得，∴.　…………7分

知识点

定义法求轨迹方程

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知圆C1的方程为，定直线l的方程为，动圆C与圆C1外切，且与直线l相切。

（1）求动圆圆心C的轨迹M的方程；

（2）斜率为k的直线l与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记为轨迹M与直线PQ围成的封闭图形的面积，求的值。

正确答案

见解析

解析

解（1）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，则

，且

可得。

由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹M的方程，

（2）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为，由于该直线经过点A（0,6），所以有，得，因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为，

把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得，解得或4，可得点Q的坐标为，所以

，

知识点

定义法求轨迹方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：简答题

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简答题 · 7 分

选修4-2：矩阵与变换

若点在矩阵对应变换的作用下得到的点为，（1）求矩阵的逆矩阵;

（2）求曲线C：x2+y2=1在矩阵N=所对应变换的作用下得到的新的曲线C'的方程。

正确答案

见解析。

解析

法一：，即，……………………1分所以得 ……………………3分

即M= ，由得 . ………………4分

法二：同法一可求得M= 因为 =1 , . ………4分

（2）

知识点

定义法求轨迹方程

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，设为线段的中点。

（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；

（2）若圆在点处的切线与轴交于点，试判断直线与轨迹的位置关系。

正确答案

（1）;（2）相切

解析

（1）由于点在圆上运动, 为线段的中点,根据两点坐标的关系,以及点P在圆上,即可得到结论.

（2）由（1）得到轨迹的方程为椭圆方程.切线PE的斜率有两种情况：斜率不存在则可得直线与轨迹的位置关系为相切.直线斜率存在则假设点P的坐标,写出切线方程,以及点N的坐标,再写出直线MN的方程.联立椭圆方程,根据判别式的值即可得到结论.

（1）设，则。点在圆上，，

即点的轨迹的方程为。 4分

（2）解法一：

（i）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，显然与轨迹相切；

（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，

因为直线与圆相切，所以，即。 7分

又直线的斜率等于，点的坐标为。

所以直线的方程为，即. 9分

由得。

，故直线与轨迹相切。

综上（i）（2）知，直线与轨迹相切. 13分

解法二：设（），则。 5分

（i）当时，直线的方程为或，此时，直线与轨迹相切；

（2）当时，直线的方程为，即。

令，则。，又点，

所以直线的方程为，即。 9分

由得即。

，所以，直线与轨迹相切。

综上（i）（2）知，直线与轨迹相切。 13分

知识点

定义法求轨迹方程

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