计数原理_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题 · 3 分

9．已知n次多项式，如果在一种算法中，计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要____________次运算。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

排列、组合的实际应用

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

6．2011年西安世园会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人从事，则不同的派给方案共有（）

A25种

B150种

C240种

D360种

正确答案

B

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

排列、组合的实际应用

1

题型：简答题

|

简答题 · 10 分

23. 在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取3个不同的数字。

（1）求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？

（2）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设为三个数字中相邻自然数的组数（例如：若取出的三个数字为，则相邻的组为和，此时的值是2），求随机变量的分布列及其数学期望。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

排列、组合的实际应用

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

10.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（）

A144种

B150种

C196种

D256种

正确答案

B

解析

根据条件可以依据人数分为3,1，1和2,2,1两种情况，所有总数为

种。

考查方向

本题主要考查了排列组合的相关知识，是高考中的常规性的题目，在高考中经常出现。

解题思路

根据题目的要求所确定的方案确定分组的人数。

易错点

很容易因为均匀分组时忘记除以组数而出现错误。

知识点

排列、组合的实际应用

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

9.的展开式中的系数为（用数字作答).

正确答案

20

解析

该二次项展开为，即，展开式中的系数，可令，所以，所以的系数为，所以选20。

考查方向

二项式展开式的系数

解题思路

根据二项式展开式，求得

易错点

二项式展开后，忽略某几项乘积为时的系数

知识点

排列、组合的实际应用

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

16.一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，从该几何体的12条棱所在直线中任取2条，所成角为60°的直线共有对．

正确答案

48

解析

该几何体是两个全等的正四棱锥底面重合，对接成的组合体，其中侧面均为正三角形。先从相交直线入手，成60°的直线有24对，在考虑异面直线，成60°的直线有24对也有24对，所以共计48对

考查方向

本题主要考察了立体几何中两直线所成的角。

解题思路

分两种类，一类是求所成角为60°的相交直线的对数，另一类是求所成角为60°的异面直线的对数。

易错点

一是几何体的结构想象不出来，还有就是所成角为60°的直线有相交直线，也有异面直线，异面直线可能会出现重复或遗漏。

知识点

异面直线及其所成的角排列、组合的实际应用

1

题型：简答题

|

简答题 · 14 分

已知函数，

26.求函数的单调递增区间；

27.若不等式在区间上恒成立，求的取值范围；

28.求证： .

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

∵ （

∴

令，得

故函数的单调递增区间为

考查方向

函数的单调性、导数与函数的单调性的关系、函数的最大值与最小值

解题思路

确定函数的定义域，利用导数求函数的单调性区间，根据题意构造出恰当的函数，利用函数与不等式之间的关系，证明结论。

易错点

求导错误，没有构造出适合的函数

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由

则问题转化为大于等于的最大值

又

令当在区间（0,+）内变化时，、变化情况如下表：

由表知当时，

函数有最大值，且最大值为

因此

考查方向

函数的单调性、导数与函数的单调性的关系、函数的最大值与最小值

解题思路

确定函数的定义域，利用导数求函数的单调性区间，根据题意构造出恰当的函数，利用函数与不等式之间的关系，证明结论。

易错点

求导错误，没有构造出适合的函数

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由（Ⅱ）知，

∴ , ,

∴ ,

又∵＝∴

考查方向

函数的单调性、导数与函数的单调性的关系、函数的最大值与最小值

解题思路

确定函数的定义域，利用导数求函数的单调性区间，根据题意构造出恰当的函数，利用函数与不等式之间的关系，证明结论。

易错点

求导错误，没有构造出适合的函数

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

3．若f（x）＝，则f（f（））＝（）

A－2

B－3

C9

D

正确答案

C

解析

因为>0,所以,此时由于=-2<0,因此，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查了对分段函数的理解以及对复合函数的认识、分段函数在近几年的各省高考题出现的频率较高。

解题思路

根据复合函数的运算规则，从内层函数出发，逐层往外计算，因此先算，然后再算.

易错点

本题易在不理解的含义而导致错误。

知识点

排列、组合的实际应用

1

题型：填空题

|

填空题 · 4 分

两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游，每辆车最多乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是．

正确答案

48

解析

第一步：将两个小孩分别放在两辆车中，则是;第二步：4个大人有两种选择模式，“2+2”或者“1+3”，则是，求出结果为48.

考查方向

本题主要考查了排列组合的问题，也是常考题型

易错点

少算、多算是排列组合中最容易出错的问题

知识点

排列、组合的实际应用

1

题型：简答题

|

简答题 · 13 分

20．在数字的任意一个排列A：中，如果对于，有，那么就称为一个逆序对．记排列A中逆序对的个数为．

如时，在排列B：3, 2, 4, 1中，逆序对有，，，，则．

（Ⅰ）设排列 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出的值；

（Ⅱ）对于数字1，2，，n的一切排列A，求所有的算术平均值；

（Ⅲ）如果把排列A：中两个数字交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列：，求证：为奇数。

正确答案

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）证明略。

解析

试题分析：本题属于新定义题目的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求，（2）要注意分类讨论思想的应用

（Ⅰ）解：；

（Ⅱ）解：考察排列与排列，

因为数对与中必有一个为逆序对（其中），

且排列D中数对共有个，

所以．

所以排列与的逆序对的个数的算术平均值为．

而对于数字1，2，，n的任意一个排列A：，都可以构造排列A1：，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为．

所以所有的算术平均值为．

（Ⅲ）证明：①当，即相邻时，

不妨设，则排列为，

此时排列与排列A：相比，仅多了一个逆序对，

所以，

所以为奇数．

②当，即不相邻时，

假设之间有m个数字，记排列A：，

先将向右移动一个位置，得到排列A1：，

由①，知与的奇偶性不同，

再将向右移动一个位置，得到排列A2：，

由①，知与的奇偶性不同，

以此类推，共向右移动m次，得到排列Am：，

再将向左移动一个位置，得到排列Am+1：，

以此类推，共向左移动m+1次，得到排列A2m+1：，

即为排列，

由①，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，

而排列A经过次的前后两数交换位置，可以得到排列，

所以排列A与排列的逆序数的奇偶性不同，

所以为奇数．

综上，得为奇数。

考查方向

本题主要考查了新定义的研究，对新定义问题的考查注意分以下几类：

1．与集合相关的新定义，

2．与数列相关的新定义，

3．与函数相关的新定义；与计数原理相关的新定义．

解题思路

本题考查新定义问题的考查，解题步骤如下：

1．直接写出的值；

2．考查考察排列与排列中的数对个数；

3．研究排列与逆序的个数，进而求其平均值；

4．分情况讨论研究“仅有相邻两数的位置发生变化”

易错点

1、第二问中，对“逆序”理解不透彻，导致错误；

2、第三问中，不要忽视对的关系和的是否相邻进行讨论。

知识点

数列与函数的综合排列、组合的实际应用

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

5.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

A24

B18

C12

D9

正确答案

B

知识点

排列、组合的实际应用排列、组合及简单计数问题

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

10.的展开式中x7的系数为__________.(用数字作答)

正确答案

-56

知识点

排列、组合的实际应用

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

A24

B18

C12

D9

正确答案

B

知识点

排列、组合的实际应用排列、组合及简单计数问题

1

题型：填空题

|

填空题 · 4 分

11．的展开式中，的系数等于．（用数字作答）

正确答案

解析

的展开式中项为，所以的系数等于．

考查方向

二项式定理．

解题思路

先求出二项式展开式的通项公式，再令X的次数等于2，求得r的值，即可得到展开式中的系数。

易错点

二项式展开错误，计算能力弱

知识点

排列、组合的实际应用

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第

（）项能力特征用表示，

若学生的十二项能力特征分别记为，，则

两名学生的不同能力特征项数为（用表示）．如果两个

同学不同能力特征项数不少于，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有名学生两两综合能力差异较大，则这名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为．

正确答案

； 22。

解析

设第三个学生为

因为的奇偶性和一样，所以为偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为偶数，

又，所以。

取

则不同能力特征项数总和恰为22 ，所以最小值为22 ．

考查方向

本题主要考查了考生分析问题解决问题的能力，逻辑推理能力及数据处理能力，较难。

解题思路

理解清题意即可得到两名学生的不同能力特征项数。理解三个学生时为从而得到结。

易错点

本题不易读懂题意，特别是对“两名学生的不同能力特征项数”和“名学生两两不同能力特征项数总和的最小值”的理解不到位而出错。本题易出现逻辑上的混乱，从而导致判断出错。

知识点

排列、组合的实际应用排列与组合的综合

热门试卷

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

知识点

正确答案

知识点

正确答案

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点