热门试卷

（1），

则;

（Ⅱ）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，

再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数.

当时，，.

故函数g（x）在上的值域为.

另解：由可得，令，

则，而，则，

于是，

故，即函数g（x）在上的值域为.

（1）

证明：连结，，

因为四边形是正方形，所以，

在正方体中，平面，

平面，所以，

因为，，平面，

所以平面，

因为平面，所以。

（2）

取的中点，连结，则，

在平面中，过点作，则。

连结，则，，，四点共面，

因为，，

所以。

故当时，，，，四点共面，

（3）

延长，，设，连结，

则是平面与平面的交线。

过点作，垂足为，连结，

因为，，

所以平面。

因为平面，所以。

所以为平面与平面所成

二面角的平面角，

因为，

即，

所以，

在△中，，，

所以

。

即，

因为，

所以。

所以。

所以。

故平面与平面所成二面角的余弦值为。

（1）

证明：以点为坐标原点，，，所在的直线

分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，

则，，，

，，

所以，，

因为，

所以。

所以。

（2）解：设，因为平面平面，

平面平面，平面平面，

所以。

所以存在实数，使得。

因为，，

所以。

所以，。

所以。

故当时，，，，四点共面。

（3）解：由（1）知，。

设是平面的法向量，

则

即

取，则，。

所以是平面的一个法向量。

而是平面的一个法向量，

设平面与平面所成的二面角为，

则…1

。

故平面与平面所成二面角的余弦值为。

（3）

以点为坐标原点，，，所在的直线

分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，

则，，，

则，。

设是平面的法向量，

则即

取，则，。

所以是平面的一个法向量。

而是平面的一个法向量，

设平面与平面所成的二面角为，

则…1

。

故平面与平面所成二面角的余弦值为。

（1）

证明：连结CB1，∵P是BC1的中点 ，∴CB1过点P，

∵N为AB1的中点，∴PN//AC,-

又∵面，面,

∴PN//平面ABC.

（2）证法一：

在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴  AC＝A1C1＝

∵棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且，以点C1为

原点，以C1B1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则

，,, ,

∴,

∵

∴ A1M⊥AB1

【证法二：

连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴  AC＝A1C1＝

∵=,

∴

，

即AC1⊥A1M.

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1，

∴B1C1⊥A1M，又，故A1M⊥A B1C1，

面A B1C1， ∴ A1M⊥AB1.

【证法三：连结AC1，在直角ΔABC中，∵BC＝1，∠BAC＝30°，

∴  AC＝A1C1＝，设∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β

∵,

∴α+β＝90°  即AC1⊥A1M.

∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且

∴B1C1⊥平面AA1CC1，

∴B1C1⊥A1M，又

故A1M⊥面A B1C1，

面A B1C1， ∴ A1M⊥AB1.

（3）解法一：

∵棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，且，

以点C1为原点，以C1B1所在的直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系，

依题意得，,,,,

,

设面的一个法向量为

由得,令得.

同理可得面的一个法向量为

故二面角的平面角的余弦值为

【解法二：

过C1作C1E⊥A1B1交A1B1于点E，过E作EF⊥AB1交AB1于F，连结C1 F，

∵平面AA1BB1⊥底面A1B1C1，∴ C1E⊥平面AA1BB1，

∴ C1E⊥AB1，∴ AB1⊥平面C1EF，∴ AB1⊥C1F，

故为二面角C1—A B1—A1的平面角，

在中，,

,,

又故

（1）由f(x) = 可得，而，即，解得；

（2），令可得，

当时，；当时，。

于是在区间内为增函数；在内为减函数。

简证（3），

当时， ，.

当时，要证。

只需证，然后构造函数即可证明。

方法一：如图1以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，

所在直线为轴建系，则，则            ；

设平面A1BC1的一个法向量，则，

则，取，则

设AD与平面A1BC1所成的角为，

则=

则,∴AD与平面A1BC1所成的角为

方法二：由题意知四边形AA1B1B是正方形，故AB1⊥BA1。

由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1。

又A1C1⊥A1B1，所以A1C1⊥平面AA1B1B，故A1C1⊥AB1。

从而得  AB1⊥平面A1BC1。

设AB1与A1B相交于点O，则点O是线段AB1的中点。

连接AC1，由题意知△AB1C1是正三角形。

由AD，C1O是△AB1C1的中线知：AD与C1O的交点为重心G，连接OG。

知AB1⊥平面A1BC1，故OG是AD在平面A1BC1上的射影，

于是∠AGO是AD与平面A1BC1所成的角。

在直角△AOG中，AG＝AD＝AB1＝AB，  AO＝AB，

所以sin∠AGO＝＝。

故∠AGO＝60°，即AD与平面A1BC1所成的角为60°