热门试卷

（1）证明：∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB。

又∵AB⊥AC，∴分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C1（0，1，1），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），

∴，

∴，，

∴，。

又∵AC1∩AB=A

∴A1C⊥平面ABC1。

（2）解：

分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系。

则A（0，0，0），C1（0，t，3﹣2t），B（t，0，0），C（0，t，0），A1（0，0，3﹣2t），

∴，，，

设平面ABC1的法向量=（x，y，z），

则，令z=t，则=（0，2t﹣3，t）

同理可求平面BCC1的法向量=（1，1，0）。

设二面角A﹣BC1﹣C的平面角为θ，

则有|cosθ|=||==。

化简得5t2﹣16t+12=0，解得t=2（舍去）或t=。

所以当t=时，二面角A﹣BC1﹣C的平面角的余弦值为。

（1）在折起后的图中，取中点，连结、，由题意，为矩形。

∵ 为中点，为中点，

∴，且。

又∵为中点，且，

∴且。

∴四边形为平行四边形。

∴。

又∵平面，平面，

∴平面。

（2）   在折起后的图中，∵，，

∴平面，且即为二面角的平面角。

∴。

∵平面，∴。

又∵为中点，∴在等腰中，有，

∵，∴。

∵平面，平面，∴。

∵，∴。

∵，∴平面。

∵平面，∴平面平面。

解析：（1）如图所示，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，D(1，0，1)，

即。

由，得CD⊥C1B1。

由，得CD⊥DC1。

又DC1∩C1B1＝C1，∴CD⊥平面B1C1D，平面B1CD⊥平面B1C1D，……6分

（2）设AD＝a，则D点坐标为(1，0，a)，。

设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)，则由。

令z＝－1，得m＝(a，1，－1)。

又平面C1DC的法向量为n＝(0，1，0)，则由，

即，故， …………12分