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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知圆锥母线长为6,底面圆半径长为4,点是母线的中点,是底面圆的直径,底面半径与母线所成的角的大小等于

(1)当时,求异面直线所成的角;

(2)当三棱锥的体积最大时,求的值。

正确答案

(1)(2)

解析

(1) 连,过于点,连

,又

等于异面直线所成的角或其补角。

时,

时,

综上异面直线所成的角等于

(2)三棱锥的高为且长为,要使得三棱锥的体积最大只要底面积的面积最大,而当时,的面积最大。

,此时

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知圆与抛物线的准线相切,则_______。

正确答案

解析

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知曲线.

(1)若曲线C在点处的切线为,求实数的值;

(2)对任意实数,曲线总在直线:的上方,求实数的取值范围。

正确答案

(1) 

(2) b的取值范围是

解析

(1),                           --------------------------------2分

因为曲线C在点(0,1)处的切线为L:

所以.                    -------------------------------4分

解得                             --------------------------------5分

(2)法1:

对于任意实数a,曲线C总在直线的的上方,等价于

x,,都有,即x,R恒成立,      ---------6分

,                     -------------------------------------7分

①若a=0,则

所以实数b的取值范围是;           -------------------------------------8分

②若,

,                    --------------------------------------9分

的情况如下:

------------------------------------11分

所以的最小值为,      -------------------------------------12分

所以实数b的取值范围是

综上,实数b的取值范围是,             ---------------------------------13分

法2:对于任意实数a,曲线C总在直线的的上方,等价于

x,,都有,即

x,R恒成立,            -------------------------------------6分

,则等价于恒成立,

,则 ,          -------------------------------------7分

,                         -----------------------------------9分

的情况如下:

------------------------------------11分

所以 的最小值为,     -------------------------------------12分

实数b的取值范围是,               --------------------------------------13分

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知抛物线的方程为,直线的方程为,点A关于直线的对称点在抛物线上。

(1)求抛物线的方程;

(2)已知,点是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,的最小值及此时点M的坐标;

(3)设点B、C是抛物线上的动点,点D是抛物线与轴正半轴交点,△BCD是以D为直角顶点的直角三角形,试探究直线BC是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)

设点A(3,-1)关于直线的对称点为坐标为(x,y),

解得

把点(1,3)代入,解得a = 4,

所以抛物线的方程为

(2)∵是抛物线的焦点,抛物线的顶点为(0,-1),

∴抛物线的准线为

过点M作准线的垂线,垂足为A,由抛物线的定义知,

=,当且仅当P、M、A三点共线时“=”成立,

即当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时,取最小值,

,这时点M的坐标为

(3)BC所在的直线经过定点,该定点坐标为

,可得D点的坐标为

,显然

,∴,即

直线BC的方程为

所以直线BC经过定点.

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知抛物线的焦点为,则________,

过点向其准线作垂线,记与抛物线的交点为,则_____。

正确答案

4; 

解析

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型:简答题
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简答题 · 18 分

如图,直线与抛物线(常数)相交于不同的两点,且为定值),线段的中点为,与直线平行的切线的切点为(不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线,这个公共点为切点)。

(1)用表示出点、点的坐标,并证明垂直于轴;

(2)求的面积,证明的面积与无关,只与有关;

(3)小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后,小张连,再作与平行的切线,切点分别为,小张马上写出了的面积,由此小张求出了直线与抛物线围成的面积,你认为小张能做到吗?请你说出理由。

正确答案

见解析

解析

(1)由,得

设切线方程为,由,得,切点的横坐标为,得…

由于的横坐标相同,垂直于轴。

(2)

的面积与无关,只与有关。

(本小题也可以求,切点到直线的距离,相应给分)

(3)由(1)知垂直于轴,,由(2)可得的面积只与有关,将中的换成,可得

,按上面构造三角形的方法,无限的进行下去,可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积,看成无穷多个三角形的面积的和,即数列的无穷项和,此数列公比为

所以封闭图形的面积

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设抛物线的焦点为F,准线为,P为抛物线上一点,,A为垂足,如果直线AF的斜率为,那么 (     )

A

B

C8

D16

正确答案

C

解析

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

顶点在原点,准线与轴垂直,且经过点的抛物线方程是(      )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

知识点

抛物线的定义及应用
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

在平面直角坐标系中,抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为,则焦点到准线的距离为(    )。

A2

B8

C

D4

正确答案

D

解析

因为抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为,由抛物线的定义可知该点到抛物线的距离为,即,所以

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

若抛物线的焦点坐标为,则的值为(    )

A1

B2

C4

D8

正确答案

B

解析

,选B.

知识点

抛物线的定义及应用
下一知识点 : 直线与圆锥曲线的位置关系
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