热门试卷

（1）由抛物线经过点、设抛物线方程，

又抛物线过点，则，得，

所以。

（2），

，函数在和处取到极值，

故，

，

又，故。

（3）设切点，则切线的斜率

又，所以切线的方程是

又切线过原点，故

所以，解得，或。

两条切线的斜率为，，

由，得，，

，

所以，

又两条切线垂直，故，所以上式等号成立，有，且。

所以。

（1）由抛物线经过点O（0，0）、A（m，0）

设抛物线方程y=kx（x﹣m）（k≠0），

又抛物线过点P（m+1，m+1），则m+1=k（m+1）（m+1﹣m），得k=1，

所以y=g（x）=x（x﹣m）．

∴f（x）=（x﹣n）g（x）=x3﹣（m+n）x2+mnx，

∴f′（x）=3x2﹣2（m+n）x+mn，

∵函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，

∴f′（a）=0，f′（b）=0，

∵m＞n＞0，

∴f′（m）=3m2﹣2（m+n）m+mn=m（m﹣n）＞0

f′（n）=3n2﹣2（m+n）n+mn=n（n﹣m）＜0，

又b＜a，故b＜n＜a＜m．

（2）设切点Q（x0，y0），则切线的斜率k=f′（x0）=3x02﹣2（m+n）x0+mn

又y0=﹣（m+n）+mnx0，所以切线的方程是y﹣+（m+n）﹣mnx0=[3x02﹣2（m+n）x0+mn]（x﹣x0）

又切线过原点，故﹣+（m+n）﹣mnx0=[3x02﹣2（m+n）x0+mn]（﹣x0）

所以2﹣（m+n）=0，解得x0=0，或x0=．

两条切线的斜率为k1=f′（0）=mn，，

由，得（m+n）2≥8，∴，

∴，

所以

又两条切线垂直，故k1k2=﹣1，

所以上式等号成立，有，且mn=1．

所以f（x）=x3﹣（m+n）x2+mnx=x3﹣x2+x．

解：

（Ⅰ）由已知可得直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b,

联立抛物线方程得：

由，可得=1

（Ⅱ）设圆心Q坐标为（0，q）

当与重合时，则、与O重合，圆Q: 圆与抛物线切与原点，此时0<q≤1

当与不重合时，设为，由对称性不妨设

则过P的抛物线的切线方程为，斜率是为

则过P且与切线垂直的直线记为L：其与y轴交点就是Q点，

坐标为（0，），则PQ=,当时，

圆Q半径取得最大值，圆心为（0，2）半径为

综上所求圆Q的标准方程是：.