抛物线及其性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足.

（1）求曲线C的方程；

（2）动点Q(x0，y0)(－2＜x0＜2)在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l，问：是否存在定点P(0，t)(t＜0)，使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由＝(－2－x,1－y)，＝(2－x,1－y)，

得，

＝(x，y)·(0,2)＝2y，

由已知得，

化简得曲线C的方程：x2＝4y.

（2）假设存在点P(0，t)(t＜0)满足条件，

则直线PA的方程是，PB的方程是y＝x＋t.

曲线C在点Q处的切线l的方程是，它与y轴的交点为F(0，)。

由于－2＜x0＜2，因此－1＜＜1.

①当－1＜t＜0时，，存在x0∈(－2,2)，使得，即l与直线PA平行，故当－1＜t＜0时不符合题意。

②当t≤－1时，，，

所以l与直线PA，PB一定相交。

分别联立方程组和

解得D，E的横坐标分别是，，

则xE－xD＝(1－t)，

又|FP|＝－－t，有S△PDE＝·|FP|·|xE－xD|＝，

又，

于是·

＝.

对任意x0∈(－2,2)，要使为常数，即只须t满足

解得t＝－1.此时，

故存在t＝－1，使得△QAB与△PDE的面积之比是常数2.

知识点

导数的几何意义抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系直接法求轨迹方程

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（　　）

A既不充分也不必要的条件

B充分而不必要的条件

C必要而不充分的条件

D充要条件

正确答案

D

解析

由题意，f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）为[0，1]上的增函数

所以f（x）为[﹣1，0]上是减函数

又f（x）是定义在R上的函数，且以2为周期[3，4]与[﹣1，0]相差两个周期，故两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立，若f（x）为[3，4]上的减函数，由周期性可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立

综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=（）。

正确答案

解析

由题意可得：F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）。

因为过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，

所以|AF|=+x1，|BF|=+x2。

因为，所以x1+x2=

设直线l的方程为y=k（x﹣），

联立直线与抛物线的方程可得：k2x2﹣（k2+2）x+=0，

所以x1+x2=。

∴

∴k2=24

∴24x2﹣26x+6=0，

∴，

∴|AF|=+x1=

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为。

（1）求抛物线C的方程；

（2）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，的最小值。

正确答案

见解析。

解析

（1）F抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F，设M，，由题意可知，则点Q到抛物线C的准线的距离为，解得，于是抛物线C的方程为.

（2）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，

而，，，

，，

由可得，，则，

即，解得，点M的坐标为.[来源:www.shulihua.net]

（3）若点M的横坐标为，则点M，。

由可得，设，

圆，

，

于是，令

，

设，，

当时，，

即当时.

故当时，.

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

设椭圆，抛物线。

（1）若经过的两个焦点，求的离心率；

（2）设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。

正确答案

（1）

解析

（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由

。

(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有

。

由点在抛物线上，，解得：

故，得重心坐标.

由重心在抛物线上得：，，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即

知识点

圆的一般方程抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足，如果直线AF的斜率为,那么|PF|=

A

B8

C

D16

正确答案

B

解析

抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知定义域为的函数满足：①对任意，恒有成立；当时，。给出如下结论：

①对任意，有；②函数的值域为；③存在，使得；④“函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在，使得

”。

其中所有正确结论的序号是。

正确答案

①②④

解析

1，正确；2取，则；，从而

，其中，，从而，正确；3，假设存在使，即存在，又，变化如下：2,4,8,16,32，……，显然不存在，所以该命题错误；4根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是124

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列。

（1）求数列的通项公式；

（2）令=求数列的前项和。

正确答案

见解析。

解析

（1）

解得

（2）

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

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