抛物线及其性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

抛物线在处的切线与轴及该抛物线所围成的图形面积为 .

正确答案

解析

:函数的导数为,即切线斜率为,所以切线方程为,即,令，得，作图可知，围成的图形是曲边梯形去掉一个直角三角形，

所求面积为.

知识点

导数的几何意义定积分的简单应用抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知抛物线：，直线与抛物线交于、不同两点，且。

（1）求抛物线的焦点坐标和准线方程；

（2）设直线为线段的中垂线，请判断直线是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，说明理由；

（3）记点、在轴上的射影分别为、，记曲线是以为直径的圆，当直线与曲线的相离时，求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为：

（2）设，，∵、是不同的两点，∴且不与轴垂直

∵，∴，，∴中点的坐标为

∴…

讨论：当时，直线的斜率，∴直线的方程为：，即，令得，即直线恒过定点

当时，直线的方程为：，也过点，故恒过定点

（3）由第（2）问可设直线的方程为：，即

联立，消去得，所以即，所以

所以以为直径的圆的方程为

当直线与曲线相离时，圆心到直线的距离，即

所以，即，即，

所有，即，所以或

又，且，所以或，即，或，或，或，

的范围为

知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若的一个焦点与抛物线的焦点重合，且抛物线的准线交双曲线所得的弦长为，则双曲线的实轴长为

A6

B

C

D

正确答案

D

解析

略

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知双曲线（），与抛物线的准线交于两点，为坐标原点，若的面积等于，则（）。

A

B1

C

D

正确答案

C

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知椭圆C的中点在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图7，直线，抛物线，已知点在抛

物线上，且抛物线上的点到直线的距离的最小值为。

（1）求直线及抛物线的方程；

（2）过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于、两点，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，问：是否存在实数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）（法一）点在抛物线上，。

设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，

由得，

，

由，得，则直线方程为。

两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，

有，解得或（舍去）。

直线的方程为，抛物线的方程为。

（法二）点在抛物线上，，抛物线的方程为。……2分

设为抛物线上的任意一点，点到直线的距离为，根据图象，有，，

，的最小值为，由，解得。

因此，直线的方程为，抛物线的方程为。

（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，即，

由得，

设点、的坐标分别为、，则，，

，，

.

由得，，

，

。

因此，存在实数，使得成立，且。

知识点

直线的一般式方程抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知抛物线的方程为，直线的方程为，点A关于直线的对称点在抛物线上。

（1）求抛物线的方程；

（2）已知，点是抛物线的焦点，M是抛物线上的动点，求的最小值及此时点M的坐标；

（3）设点B、C是抛物线上的动点，点D是抛物线与轴正半轴交点，△BCD是以D为直角顶点的直角三角形，试探究直线BC是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由，

正确答案

见解析。

解析

(1)

设点A(3,-1)关于直线的对称点为坐标为(x,y),

则解得-

把点（1，3）代入，解得a = 4，

所以抛物线的方程为

（2）∵是抛物线的焦点，抛物线的顶点为（0，-1），

∴抛物线的准线为，

过点M作准线的垂线，垂足为A,由抛物线的定义知,

∴=,当且仅当P、M、A三点共线时“=”成立，

即当点M为过点P所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时，取最小值，

∴，这时点M的坐标为。

（3）BC所在的直线经过定点，该定点坐标为，

令，可得D点的坐标为

设，显然，

则-

--

∵，∴，即

直线BC的方程为

即-

所以直线BC经过定点.--

知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知抛物线()的准线与圆相切,则的值为( )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

略

知识点

直线与圆的位置关系抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .

正确答案

解析

略

知识点

两直线的夹角与到角问题双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

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