抛物线及其性质
共507题

抛物线及其性质
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题型：单选题

单选题 · 5 分

如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )

正确答案

A,D

解析

在中，∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，所以,由切割线定理的,所以CE·CB=AD·DB。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知抛物线C：的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 4 分

已知抛物线焦点恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点，则该双曲线的渐近线方程为________.

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

抛物线的焦点坐标为；

正确答案

（0,1）

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

在直角坐标系中，点与点关于原点对称，点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则______。

正确答案

解析

略

知识点

直线的倾斜角与斜率抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

设为平面直角坐标系上的两点，其中.令，，若,且，则称点为点的“相关点”，记作：. 已知为平面上一个定点，平面上点列满足：，且点的坐标为，其中.

（1）请问：点的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；

（2）求证：若与重合，一定为偶数；

（3）若，且，记，求的最大值.

正确答案

见解析

解析

（1）因为为非零整数）

故或，所以点的相关点有8个 ………………2分

又因为，即

所以这些可能值对应的点在以为圆心，为半径的圆上 ………………4分

（2）依题意与重合

则，

即，

两式相加得

（*）

因为

故为奇数，

于是（*）的左边就是个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，

所以一定为偶数 ………………8分

（3）令，

依题意，

因为

………………10分

因为有，且为非零整数，

所以当的个数越多，则的值越大，

而且在这个序列中，数字的位置越靠前，则相应的的值越大

而当取值为1或的次数最多时，取2的次数才能最多，的值才能最大。

当时，令所有的都为1，都取2，

则.

当时，

若，

此时，可取个1，个，此时可都取2，达到最大

此时=.

若,令,其余的中有个，个1.

相应的，对于，有,其余的都为2，

则

当时，令

则相应的取

则=+

综上， ………………13分

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为（）

正确答案

解析

由可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质抛物线焦点弦的性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2.其中F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且.

（1）求C1的方程；

（2）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程.

正确答案

（1）椭圆的方程为

（2）直线的方程为，或

解析

（1）由：知，……………………………………………1分

设，在上，因为，所以，

得，，………………………………………………………………… 3分

在上，且椭圆的半焦距，于是………………………5分

消去并整理得，解得（不合题意，舍去）。

故椭圆的方程为。 ………………………………………………… 7分

（2）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，

因为，所以与的斜率相同，

故的斜率。

设的方程为，……………………………………………………… 8分

由 ………………………………………………………………… 9分

消去并化简得，…………………………………… 10分

设，，，.……………………11分

因为，所以。

，……………… 12分

所以，此时，

故所求直线的方程为，或。 …………………… 14分

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，则焦点到准线的距离为（）。

正确答案

解析

因为抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，由抛物线的定义可知该点到抛物线的距离为，即，所以。

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若，则此抛物线的方程为（）

正确答案

解析

略

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

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