热门试卷

解：（1）设抛物线的标准方程为，

由题意，得，即。

所以抛物线的标准方程为。

（2）设，，且，。

由（），得，所以。

所以切线的方程为，即。

整理，得，                  ①

且C点坐标为。

同理得切线的方程为，②

且D点坐标为。

由①②消去，得。

又直线的方程为，③

直线的方程为。  ④

由③④消去，得。

所以，即轴，

（3）由题意，设，代入（1）中的①②，得，。

所以都满足方程。

所以直线的方程为。

故直线过定点

（1）∵　·＝0，则x1x2＋y1y2＝0，--------------------------1分

又P、Q在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得

＋y1y2＝0， y1y2＝－4p2

--------------------------3分

又|x1x2|＝4，故得4p2＝4，p=1。

所以抛物线的方程为: -------------4分

（2）设直线PQ过点E(a,0）且方程为x＝my＋a

联立方程组

消去x得y2－2my－2a＝0

∴　      ①　--------------------------------6分

设直线PR与x轴交于点M(b,0)，则可设直线PR方程为x＝ny＋b,并设R(x3,y3)，

同理可知，

   ②　　　--------------------------7分

由①、②可得

由题意，Q为线段RT的中点，∴　y3＝2y2，∴b=2a分

又由（Ⅰ）知， y1y2＝－4，代入①，可得

－2a＝－4 　　∴　　a＝2，故b＝4。-----------------------9分

∴

∴

.

当n=0，即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值--------------------12分

（1）因为，在抛物线上，

所以， ，

同理，依题有，

因为，所以。

（2）由⑴知，设的方程为，

到的距离为，，

所以=

，

令，由，，可知。，

因为为偶函数，只考虑的情况，

记，，故在是单调增函数，故的最大值为，故的最大值为6。

（1）

设点关于x轴的对称点为A1，则A1的坐标为

于是

当且仅当A、P、B三点共线是取等号，

这时|PA|+|PB|取得最小值

（2）解法一：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

过点M作y轴的垂线，垂足为G，则点G平分DE，

设圆心为M(m，n)，

则

即当M运动时，弦DE的长不随圆心M的变化而变化，

又∵点A'到y轴的距离不变，∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化，

解法二：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

设圆的圆心为 ∵圆M过点

∴圆的方程为

令得，

∵点在抛物线上，

设

则

，即

即当M运动时，弦DE的长不随圆心M的变化而变化，

又∵点A'到y轴的距离不变，∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化；

解法三：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

设圆的圆心为  ∵圆M过点

∴圆的方程为

令得：

∵点在抛物线上，

设

由求根公式得

     即

∴当M运动时，弦长|DE|为定值，

又∵点A'到y轴的距离不变，∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化，

解法四：依题意知点

设抛物线C的方程为

由抛物线C过点B得

即抛物线C的方程为

设圆的圆心为  ∵圆M过点

∴圆的方程为

令得，

设

则，

又∵点在抛物线上，

∴当M运动时，弦长|DE|为定值，又∵点A'到y轴的距离不变，

∴三角形A'DE的面积不随圆心M的变化而变化，

（1）由焦点为，得，即抛物线方程是

则，且AP的斜率

所以线段AP的垂直平分线的方程为

令，得

(当且仅当时取等号)，

即的取值范围是

（2）假设存在所求直线为

AP的中点M(圆心)到的距离为

半径为

弦长

若为定值，则

检验即圆M恒与直线相交，且截得弦长恒为2。

（1）∵，即p=2，

∴所求抛物线的方程为y2=4x

∴设圆的半径为r，则，∴圆的方程为（x﹣2）2+y2=4.

（2）设G（x1，y1），H（x2，y2），由•=0得x1x2+y1y2=0，

∵=4x1，=4x2，

∴x1x2=16，

∵=，

∴=•=（+）（+）=，

=[+4x1x2（x1+x2）+16x1x2]

≥[+4x1x2•2+16x1x2]

=256

∴≥16，当且仅当x1=x2=2时取等号，

∴△GOH面积最小值为16.

（3）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x0，y0）

∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在抛物线C上，

∴=4x3，=4x4，

两式相减得：（y3﹣y4）（y3+y4）=4（x3﹣x4）

∴y3+y4=4•==﹣4k，

∴y0=﹣2k

∵D（x0，y0）在m：y=k（x﹣1）（k≠0）上

∴x0=﹣1＜0，点D（x0，y0）在抛物线外

∴在抛物线C上不存在两点P，Q关于直线m对称

解析：（1）过点与抛物线有两个交点，设，由得，，……………………4分

（2）当直线的斜率存在时，设，其中（若时不合题意）。

由得。，从而，………6分

从而，得，即，即过定点，………………8分

当直线的斜率不存在，设，代入得，，，从而，即，也过。

综上所述，当时，直线过定点，…………10分

（3）依题意直线的斜率存在且不为零，由（1）得点的纵坐标为，代入得，即。

由于与互相垂直，将点中的用代，得，…………12分

设，则消得………………14分

由抛物线的定义知存在直线，点，点到它们的距离相等，………16分