抛物线及其性质
共507题

抛物线及其性质
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题型：简答题

简答题 · 12 分

20．设圆以抛物线：的焦点为圆心，且与抛物线有且只有一个公共点．

（I）求圆的方程；

（Ⅱ）过点作圆的两条切线与抛物线分别交于点和，求经过四点的圆的方程．

正确答案

（Ⅰ）设圆F的方程为(x－1)2＋y2＝r2（r＞0）．

将y2＝4x代入圆方程，得(x＋1)2＝r2，所以x＝－1－r（舍去），或x＝－1＋r．

圆与抛物线有且只有一个公共点，当且仅当－1＋r＝0，即r＝1．

故所求圆F的方程为(x－1)2＋y2＝1．

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知识点

圆的标准方程抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

6．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）

正确答案

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知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

9．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则的面积为（）

正确答案

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知识点

抛物线的标准方程和几何性质抛物线焦点弦的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

8．已知A，B，C，D，E为抛物线上不同的五点，抛物线焦点为F，满足，则（）

B10

正确答案

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知识点

向量的模向量的加法及其几何意义向量在几何中的应用抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 15 分

21．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，．

（1）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；

（2）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值．

正确答案

（1）设，则处的切线方程为

所以，

所以；即为等腰三角形

又为线段的中点，所以，得：

所以，

（2）设，则处的切线方程为

由，

同理，所以面积……①

设的方程为，则

由，得代入①

得：，使面积最小，则得到②

令，②得，，

所以当时单调递减；当单调递增，

所以当时，取到最小值为，此时，，

所以，即

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知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

16．已知，抛物线上的点到直线的最段距离为____________。

正确答案

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知识点

点到直线的距离公式抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

12．已知直线与抛物线交于两点，是的中点，是抛物线上的点，且使得取最小值，抛物线在点处的切线为，则( )

正确答案

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知识点

平面向量数量积的运算抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

2. 已知集合，集合，以下命题正确的个数是（）

①

②

③都有

④都有

正确答案

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知识点

抛物线的标准方程和几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为（）

正确答案

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知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 4 分

13．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程为__________________．

正确答案

y=-

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知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质

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