抛物线及其性质_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.已知F1，F2是双曲线E:的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为

A

B

C

D2

正确答案

A

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线．
⑴ 若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；
⑵ 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．

①求证：线段上的中点坐标为；

②求的取值范围．

正确答案

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为( )

A2

B4

C6

D8

正确答案

B

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7．设双曲线的一条渐近线为y＝－2x，且一个焦点与抛物线y＝的焦点相

同，则此双曲线的方程为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由c=1,且焦点在y轴上,得a=2b。A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

考查方向

本题主要考查双曲线的标准方程

解题思路

1、求出c；

2、利用a,b,c关系求a,b，即可得到结果。A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

易错点

本题易在判断焦点位置时发生错误。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知抛物线的焦点，其准线与轴的交点为，过点的直线与交于两点，点关于轴的对称点为．

（Ⅰ）证明：点在直线上；

（Ⅱ）设，求内切圆的方程．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论．

（Ⅰ）由题可知，抛物线的方程为

则可设直线的方程为，，

故整理得，故

则直线的方程为即

令，得，所以在直线上．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，

又，

故，

则，故直线的方程为或

，

故直线的方程或，又为的平分线，

故可设圆心，到直线及的距离分别为

由

得或（舍去）．故圆的半径为

所以圆的方程为．

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用，属于高考中的高频考点．

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，解题步骤如下：

1、利用e及对称性求a,b。

2、联立直线与椭圆方程求解。

易错点

第二问中表示直线斜率时容易出错。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 12 分

20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上一点到点的距离的最大值为4．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）因为，所以．

则椭圆方程为即．

设，则

．

当时，有最大值为．

解得，则．

所以椭圆的方程是．

（Ⅱ）设曲线：上的点，因为，

所以直线的方程为：． ①

将①代入椭圆方程中整理，

得．

则有．

且．

所以

．

设点到直线的距离为，则．

所以的面积．

．

当时取到“=”，经检验此时，满足题意．

综上，面积的最大值为．

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程以及二次函数求最值。

解题思路

易错点

第一问未能利用|MQ|最大值求出b;第二问运算量较大，代数式化简容易出错。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

13.抛物线的顶点为原点，焦点在轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于点，若，则抛物线的方程为_________________.

正确答案

解析

设抛物线方程与直线的方程联立方程组

；消元可得，

整理得，（1）

设直线与抛物线的两个交点的坐标分别为，

由曲线与方程的定义，为上述方程（1）的两个根，

由根与系数的关系得出两根之和；

由抛物线的定义得出，

解得，

抛物线方程为

考查方向

本题主要考查了抛物线的定义，直线与圆锥曲线的位置关系，在近几年各省的高考试题中出现的频率非常高。

解题思路

本题考查抛物线的定义，直线与圆锥曲线的位置关系，解题步骤如下：

（1）设抛物线方程;

（2）写出直线的方程；

（3）联立方程组由根与系数的关系得出两根之和；

（4）由抛物线的定义得出根与弦长的关系得解。

易错点

本题必须注意充分利用曲线的定义和设而不求，忽视而单纯运算则会出现错误。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质抛物线焦点弦的性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

10．若抛物线的焦点在直线上，则实数____；抛物线C的准线方程为____.

正确答案

；

解析

由方程形式知其焦点坐标和准线方程的正确表达，把焦点坐标代入直线方程得,即p＝６；由此可得准线方程。

考查方向

本题主要考查焦点在y轴非负半轴时抛物线的方程、焦点、准线等相关知识点，为历届高考中的重要考查对象。

解题思路

由方程形式知其焦点坐标和准线方程的正确表达，把焦点坐标代入直线方程可得p的值；由此可得准线方程。

易错点

由于抛物线的标准方程有四类，相对较多学生可能由于识记问题而导致错误。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.已知双曲线的一个实轴端点恰与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

双曲线的左焦点为(-2,0),即c=2，所以a=1,b2=3,所以选D

考查方向

本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质,属于简单题

解题思路

先求出a,b的值,进而求解问题

易错点

双曲线的标准方程等基础概念

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5．如图所示，酒杯的杯体轴截面是抛物线x2=2py (p>0)的一部分，若将半径为r(r>0)的玻璃球放入杯中，可以触及酒杯底部（即抛物线的顶点），则r的最大值为（）

A

B1

C2

D4

正确答案

B

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难。（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论（3）涉及恒成立问题，转化成求二次函数的最值，这种思路是一般解法，往往要利用对称轴．

考查方向

本题主要考查了抛物线与圆的位置关系,在近几年的各省高考题出现的频率较低。

解题思路

本题考查抛物线与圆的位置关系，解题步骤如下：

（1）由题可知，已知抛物线上一点（2，2），得抛物线方程为x2=2y。

（2）设小球圆心（0，r），抛物线上点（x，y）

则点（x，y）到圆心距离平方为：r2=x2+（y-r）2=2y+（y-r）2=y2+2（1-r）y+r2

若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底

故此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧，所以1-r≥0，所以r≤1，

所以0＜r≤1，

故答案为：0＜r≤1．

易错点

本题易在判断线是否在面上发生错误。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

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