抛物线及其性质_章节学习

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且

=2,则直线OM的斜率的最大值为

A

B

C

D1

正确答案

C

知识点

直线的倾斜角与斜率抛物线的标准方程和几何性质抛物线焦点弦的性质

1

题型：填空题

|

填空题 · 4 分

9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 .

正确答案

9

解析

．

考查方向

抛物线标准方程和性质

解题思路

将到焦点的距离转化到准线的距离

易错点

没有转化到准线的距离

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质抛物线焦点弦的性质

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

10．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为___________

正确答案

解析

将代入渐近线方程，得a=2b. c=,c2=a2+b2, a2+.

考查方向

本题主要考查了双曲线的方程及双曲线与抛物线的基本知识。

解题思路

本题考查运用双曲线的渐近线方程及抛物线的准线方程，求a,b，解题步骤如下：将代入渐近线方程，得a=2b. 由双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，可知c=,c2=a2+b2, a2+.

易错点

本题必须注意审题，忽视则会出现错误。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：简答题

|

简答题 · 10 分

24．若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M（2，2）．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为，

当变化且满足时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．

正确答案

见解析

解析

（1）

（2）

定点（6，－4）

考查方向

本题主要考查了抛物线与直线方程的综合能力运用。

解题思路

1利用已知条件把求出抛物线方程2.设出直线方程证明其过定点。

易错点

本题必须注意审题，否则求解错误。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

如图（7），已知抛物线C：＝2py （p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点．

23.当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5），求p的值；

24.以AB为直径的圆交x轴于M，N两点，记劣弧的长度为S，当直线l绕点F旋转时，求的最大值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

解：（1）当的倾斜角为时，的方程为

设得

得中点为

中垂线为代入得

考查方向

本题主要考查了抛物线的方程与性质及直线与抛物线的综合应用，近几年高考考查的频率较高，也常考查直线与椭圆、圆与直线，求曲线轨迹或最值问题。

解题思路

（1）首先设出直线AB方程，再计算出中点从而确定其中垂线方程，最后将Q点坐标代入方程算出P的值（2）根据题意设出直线L的方程，表示出弦AB和圆心D的坐标；令，探索到，转化为求的最大值问题。

易错点

对条件的合理转化是本题的突破口也是易错点。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）的最大值为

解析

解：

（2）设的方程为，代入得

中点为

令

到轴的距离

当时取最小值

的最大值为

故的最大值为.

考查方向

本题主要考查了抛物线的方程与性质及直线与抛物线的综合应用，近几年高考考查的频率较高，也常考查直线与椭圆、圆与直线，求曲线轨迹或最值问题。

解题思路

（1）首先设出直线AB方程，再计算出中点从而确定其中垂线方程，最后将Q点坐标代入方程算出P的值（2）根据题意设出直线L的方程，表示出弦AB和圆心D的坐标；令，探索到，转化为求的最大值问题。

易错点

对条件的合理转化是本题的突破口也是易错点。

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

已知抛物线（）的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．

23.分别求抛物线和椭圆的方程；

24.经过，两点分别作抛物线的切线，，切线与相交于点．证明：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由已知抛物线的焦点为可得抛物线的方程为．

设椭圆的方程为，半焦距为．由已知可得：

,解得．所以椭圆的方程为：．

考查方向

抛物线的性质与特征；椭圆的方程与椭圆的性质与特征

解题思路

第一问根据离心率及焦点求抛物线C和椭圆E的方程，第二问利用平面向量的数量积的坐标公式证明线段和线段垂直。

易错点

计算错误，利用平面向量证明线段垂直

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，

故可设直线的方程为，

由, 消去并整理得 ∴ ．

∵抛物线的方程为，求导得，

∴过抛物线上两点的切线方程分别是，,

即，，

解得两条切线的交点的坐标为，即，

,

∴．

考查方向

抛物线的性质与特征；椭圆的方程与椭圆的性质与特征

解题思路

第一问根据离心率及焦点求抛物线C和椭圆E的方程，第二问利用平面向量的数量积的坐标公式证明线段和线段垂直。

易错点

计算错误，利用平面向量证明线段垂直

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p＞0) 的焦点为F，双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是 .

正确答案

y＝±2x

解析

抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F；

双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为；

代入抛物线的方程，可得A， B

由A，B，F三点共线，可得：，即有b=2a，∴双曲线的渐近线方程是y＝±2x

考查方向

本题主要考查了抛物线和双曲线的几何性质

解题思路

求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程可得A，B，再由A，B，

F共线，可得，即有b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程．

易错点

混淆抛物线和双曲线的几何性质，同时计算容易出现错误

知识点

双曲线的几何性质抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

|

简答题 · 13 分

已知抛物线C：的焦点F也是椭圆C;的一个焦点，C与C的公共弦的长为2，过点F的直线与C相交于A,B两点，与C相交于C,D两点，且与同向。

24.求C的方程

25.若|AC|=||求直线的斜率。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由:知其焦点F的坐标为（0,1），因为F也是椭圆的一焦点，

所以 1又与的公共弦的长为2，与都关于y轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为（），所以 2，联立1，2得=9，=8，故的方程为 3；

考查方向

本题主要考察椭圆的标准方程及其性质和直线与椭圆位置关系，意在考察考生的综合解决问题的能力。

解题思路

根据已知条件可求得的焦点坐标为，再利用公共弦长为即可求解；

易错点

不会转化题中给出的条件与的公共弦的长为2

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

，

考查方向

本题主要考察椭圆的标准方程及其性质和直线与椭圆位置关系，意在考察考生的综合解决问题的能力。

易错点

1.第（2）问联立方程运算出错；

1

题型：简答题

|

简答题 · 13 分

已知抛物线C：的焦点F也是椭圆C;的一个焦点，C与C的公共弦的长为2，过点F的直线与C相交于A,B两点，与C相交于C,D两点，且与同向。

24.求C的方程

25.若|AC|=||求直线的斜率。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由:知其焦点F的坐标为（0,1），因为F也是椭圆的一焦点，

所以 1又与的公共弦的长为2，与都关于y轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为（），所以 2，联立1，2得=9，=8，故的方程为 3；

考查方向

本题主要考察椭圆的标准方程及其性质和直线与椭圆位置关系，意在考察考生的综合解决问题的能力。

解题思路

根据已知条件可求得的焦点坐标为，再利用公共弦长为即可求解；

易错点

不会转化题中给出的条件与的公共弦的长为2

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

，

考查方向

本题主要考察椭圆的标准方程及其性质和直线与椭圆位置关系，意在考察考生的综合解决问题的能力。

易错点

1.第（2）问联立方程运算出错；

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

6．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为________.

正确答案

解析

设所求抛物线方程为y2=2px，

依题意9=2p

∴p=，

又因为其焦点到准线的距离为p

故答案为：

考查方向

本题主要考查了抛物线的定义,在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与抛物线的方程等知识点交汇命题，体现了学生的基础知识掌握能力。

解题思路

理解题意，代入点P求出抛物线的方程，有方程去解决性质问题。

易错点

1、抛物线的方程和图像记忆出错。

2、不能准确理解焦点到准线的距离，从而不知如何求解。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质

热门试卷

正确答案

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

考查方向

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

考查方向

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点