抛物线及其性质_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在轴上，则与的面积之比是（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

试题分析：如图作出抛物线的准线，经过A、B分别向准线作垂线，利用三角形相似

和抛物线的性质，求出三角形面积的比值。

作抛物线的准线x＝－1，经过A、B分别向准线作垂线，垂足分别为E，D，与y轴分别

交于N，M，由抛物线的定义可知|BF|＝|BD|，|AF|＝|AE，|BM||=|BD|－1＝|BF|－1，

|AN||=|AE|－1＝|AF|－1，∴，故选A.

考查方向

本题考查了抛物线的定义，三角形的面积，属于基础题．

解题思路

作出抛物线的准线，经过A、B分别向准线作垂线，利用三角形的面积公

式，把三角形面积的比值利用三角形相似进行转化．

易错点

注意正确求出抛物线的准线.

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

利用抛物线的性质得出焦点为在y轴上，即

所以双曲线方程为 ∴渐近线为选C

考查方向

本题考察了双曲线的定义及标准方程，考察了抛物线的定义及方程，考察了双曲线的几何性质，属于容易题

解题思路

1、利用抛物线的性质得出焦点为在y轴上

2、根据双曲线的几何性质得出

3、根据双曲线的几何性质直接写出渐近线

易错点

本题主要易错于焦点位置的判断以及m的含义

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（）

A

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

如图：注意点Q的位置

根据题意得知

选C

考查方向

本题重点考察了抛物线的标准方程和几何性质，考察了抛物线焦点弦的性质，考察了不等式的应用，借助于数形结合，该题属于简单题

解题思路

1）把转化为点Q到准线的距离问题，

2）利用不等式的性质直接得出结果

易错点

主要易错于的转换

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

不妨设直线，带人抛物线方程有：，则，又中点，则，即

代入，可得即，又由圆心到直线的距离等于半径，

可得，由可得故选D选项。

考查方向

本题主要考察直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识，意在考察考生的树形结合能力和运算推理能力。

解题思路

先设直线方程后代人消元得到判别式和中点，然后根据得到代人得到，最后利用圆和直线相切得到后即可得到答案。

易错点

1.不会转化题中给出的条件这样的直线l恰有4条；

找不到r和t之间的关系导致没有思路。

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．若抛物线C:上只有两点到直线l:的距离为1，则实数k的取值范围是．

正确答案

或或

解析

直线过定点，该直线存在斜率，抛物线的顶点为，抛物线的顶点到直线的距离一定小于1，所以抛物线上一定存在点到直线的距离，设与直线平行，令与抛物线相切，联立，得，所以，当时，，满足题意；当时，，直线，令直线与的距离为1，即，解得，所以满足条件的，即实数k的取值范围是或或.

考查方向

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系.

解题思路

1）根据直线过定点和抛物线的方程判定位置关系；

2）设出与直线平行且与抛物线相切的直线；

3）利用点到直线的距离进行求解.

易错点

本题易在讨论时出现错误，易忽视“时的特殊情形”.

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图所示，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.

24.求C1，C2的方程

25.求证：MA⊥MB；

26. 记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

C1的方程：＋y2＝1；C2的方程：y＝x2－1

解析

由题意，知＝，所以a2＝2b2. ……1分

又2＝2b，得b＝1. ……2分

所以曲线C2的方程：y＝x2－1，椭圆C1的方程：＋y2＝1. ……3分

考查方向

主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，椭圆的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

解题思路

根据题意直接列出a,b,c方程, 可求出两条曲线的方程

易错点

易在运算中出错，在转化直线与圆锥曲线关系过程中，易在切入点出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

解析

证明　设直线AB：y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知M(0，－1)．

则⇒x2－kx－1＝0， ……4分

则x1·x2＝－1，x1＋x2＝k，

＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－(1＋k2)＋k2＋1＝0，

所以MA⊥MB. ……7分

考查方向

主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，椭圆的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

解题思路

设直线方程、交点坐标. 通过向量的数量积等于零, 证明两条线互相垂直

易错点

易在运算中出错，在转化直线与圆锥曲线关系过程中，易在切入点出错

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

[，＋∞)

解析

解:　设直线MA的方程：y＝k1x－1，直线MB的方程：y＝k2x－1，……8分

由25题知k1k2＝－1，M(0，－1)，

由解得或 ……9分

所以A(k1，k－1)．同理，可得B(k2，k－1)．……10分

故S1＝|MA|·|MB|＝·|k1||k2|.

由解得或

所以D(，)．同理，可得E(，)．……11分

故S2＝|MD|·|ME|＝·，

＝λ＝＝≥，……13分

则λ的取值范围是[，＋∞)．……14分

考查方向

主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线的方程，椭圆的方程，直线与圆锥曲线的相关知识. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

解题思路

设MA,MB的方程，通过与抛物线，椭圆联立方程组，解出A,B,D,E的坐标，然后分别用表示面积，把表示成关于的关系式，最后用均值不等式求解λ的取值范围．

易错点

易在运算中出错，在转化直线与圆锥曲线关系过程中，易在切入点出错

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点.

23.求的方程；

24.若圆与直线相切于点，求直线的方程和圆的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）抛物线的方程为；

解析

试题分析：本题属于抛物线、直线、圆的方程及位置关系考查题型，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力及运算能力。

（Ⅰ）设，则，

又∵以为直径的圆与直线相切，

∴，故，

∴抛物线的方程为；

考查方向

本题考查了抛物线的定义及直线与圆的位置关系，考查考生的计算能力和逻辑推理能力。

解题思路

（1）直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点知，从而得出p的值

（2）通过直线与抛物线相交于A,B，得到以AB为直径的圆的圆心坐标，再通过求出直线方程和圆的方程。

易错点

以为直径的圆与直线相切的转化易推理出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）直线的方程为，即

圆的方程为

解析

试题分析：本题属于抛物线、直线、圆的方程及位置关系考查题型，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力及运算能力。

（Ⅱ）设直线的方程为，代入中，

化简整理得，

∴，

∴圆心的坐标为，

∵圆与直线相切于点，

∴，

∴，解得，

此时直线的方程为，即，

圆心，半径，

圆的方程为.

考查方向

本题考查了抛物线的定义及直线与圆的位置关系，考查考生的计算能力和逻辑推理能力。

解题思路

（1）直线过点交抛物线于两点，且以为直径的圆与直线相切于点知，从而得出p的值

（2）通过直线与抛物线相交于A,B，得到以AB为直径的圆的圆心坐标，再通过求出直线方程和圆的方程。

易错点

以为直径的圆与直线相切的转化易推理出错

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），若直线的倾斜角为，则等于（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

考查方向

考查抛物线的性质，抛物线的焦半径公式

解题思路

根据题意, 直接用焦半径表示AF与BF的长度.

易错点

忽略直线过焦点，导致AF与BF的长度无法用3表示, 忽略焦点的位置，容易把焦半径公式写成

知识点

抛物线的定义及应用抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14. 已知直线l：y=kx+t号圆：x2 +(y+l)2 =1相切且与抛物线C：x2 =4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是____．

正确答案

解析

因为直线与圆相切，所以．又把直线方程代入抛物线方程并整理得，于是由，得或．

考查方向

本题主要考查了直线与圆和抛物线的位置关系，考查考生分析问题和解决问题的能力。

解题思路

先利用直线与圆相切找到k与t之间的关系，再通过直线与抛物线有两个不同的交点求出t的取值范围。

易错点

直线中有两个变量，如何把k转化或者求出。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知点F(0,1)为抛物线的焦点。

24.求抛物线C的方程；

25.点A、B、C是抛物线上三点且,求面积的最大值

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）由题意知

考查方向

本题主要考查抛物线的标准准方程，直线与圆锥的关系。

解题思路

1）第一问利用抛物线的定义，可求出，直接得到方程；

2）第二问首先设出三点的坐标，再设出直线与轴交点，进一步求出，根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据基本不等式求出最值及最值成立的条件。

易错点

错位相减法求和计算容易错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）令，不妨设直线AB与轴交于点

又因为

从而

令

当时点三点中有两个点重合，所以舍去

当

考查方向

本题主要考查抛物线的标准准方程，直线与圆锥的关系。

解题思路

1）第一问利用抛物线的定义，可求出，直接得到方程；

2）第二问首先设出三点的坐标，再设出直线与轴交点，进一步求出，根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据基本不等式求出最值及最值成立的条件。

易错点

错位相减法求和计算容易错。

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正确答案

解析

考查方向

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易错点

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