抛物线及其性质
共507题

抛物线及其性质
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题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，直三棱柱，，点M，N分别为和的中点。

（1）证明：∥平面;

（2）若二面角为直二面角，求的值。

正确答案

见解析

解析

（1）连结，由已知

三棱柱为直三棱柱，

所以为中点.又因为为中点

所以，又平面

平面，因此 ……6分

（2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示

设则，

于是，

所以，设是平面的法向量，

由得，可取

设是平面的法向量，

由得，可取

因为为直二面角，所以，解得……12分

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

函数的最小正周期T为________

正确答案

解析

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：简答题

简答题 · 10 分

如图，⊙O和⊙相交于两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E。

证明：

（1）；

（2）。

正确答案

见解析

解析

（1）由与相切于，得，同理，

所以。从而，即 ……4分

（2）由与相切于，得，又，得

从而，即，综合（1）的结论， ……10分

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是(　　)。

A这种抽样方法是一种分层抽样

B这种抽样方法是一种系统抽样

C这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

正确答案

解析

五名男生成绩的平均数为(86＋94＋88＋92＋90)＝90，

五名女生成绩的平均数为(88＋93＋93＋88＋93)＝91，

五名男生成绩的方差为

＝

＝8，

五名女生成绩的方差为

＝，

所以，故选C.

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是

正确答案

解析

略

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）

正确答案

解析

函数与函数互为反函数，图象关于对称

函数上的点到直线的距离为

设函数

由图象关于对称得：最小值为

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，

如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式。

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）当时，

当时，

得：

（2）（i）可取，，

的分布列为

（ii）购进17枝时，当天的利润为

得：应购进17枝

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数y＝ln(1－x)的定义域为(　　)。

A(0,1)

B[0,1)

C(0,1]

D[0,1]

正确答案

解析

要使函数有意义，需解得0≤x＜1，即所求定义域为[0,1)，故选B.

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数f（x）＝，a为常数且a>0.

（1）证明：函数f（x）的图像关于直线对称；

（2）若x0满足f（f（x0））＝x0，但f（x0）≠x0，则称x0为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；

（3）对于（2）中的x1，x2和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3,0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性。

正确答案

见解析

解析

（1）证明：因为＝a（1－2|x|），＝a（1－2|x|），

有，

所以函数f（x）的图像关于直线对称。

（2）解：当0＜a＜时，有f（f（x））＝

所以f（f（x））＝x只有一个解x＝0，又f（0）＝0，故0不是二阶周期点。

当时，有f（f（x））＝

所以f（f（x））＝x有解集，又当时，f（x）＝x，故中的所有点都不是二阶周期点。

当时，有f（f（x））＝所以f（f（x））＝x有四个解0，，又f（0）＝0，，，，故只有是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为.

（3）由（2）得，，

因为x3为函数f（f（x））的最大值点，所以，或.

当时，，求导得：

S′（a）＝，

所以当a∈时，S（a）单调递增，当a∈时S（a）单调递减；

当时，S（a）＝，求导得：

S′（a）＝，

因，从而有S′（a）＝>0，

所以当a∈时S（a）单调递增

知识点

抛物线焦点弦的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知，则双曲线：与：的

A实轴长相等

B虚轴长相等

C焦距相等

D离心率相等

正确答案

解析

略

知识点

抛物线焦点弦的性质

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