抛物线及其性质_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l. 过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E. 若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的值为_________.

正确答案

知识点

抛物线焦点弦的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知函数的定义域为[—2，，部分对应值如下表，为的导函数，函数的图象如图所示：

若两正数满足，则的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

抛物线焦点弦的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

2.将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则(　　).

A.n=0

Bn=1

Cn=2

Dn≥3

正确答案

C

解析

如图所示,A,B两点关于x轴对称,

点F的坐标为(,0),设

则由抛物线定义,知|AF|=|AA1|,

即m+=|AF|.

又|AF|=|AB|=

∴m+

整理得　①

∴Δ=

∴方程①有两个不同的实根,

记为m1,m2,且m1+m2=7p>0,

∴m1>0,m2>0,∴n=2.

知识点

抛物线的标准方程和几何性质抛物线焦点弦的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．若抛物线y2 = 2px（p>0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则p的值为（）

A2

B18

C2或18

D4或16

正确答案

C

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

抛物线焦点弦的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知椭圆形：（a＞b＞0）的离心率为，其左顶点A在圆O：上．

（Ⅰ）求椭圆W的方程；

（Ⅱ）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q．是否存在点P，使得＝3? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）；

（2）不存在直线，使得.

解析

解答过程如下：

（1）因为椭圆的左顶点A在圆上，令，得，所以

又离心率为，所以，所以,所以,

所以的方程为.

（2）设点，设直线的方程为，

与椭圆方程联立得,

化简得到, 因为为方程的一个根，

所以，所以，所以.

因为圆心到直线的距离为，

所以, 因为，

代入得到

显然，所以不存在直线，使得.

考查方向

本题考查了椭圆的标准方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

解题思路

第（1）问根据椭圆的标准方程以及几何性质，通过待定系数的方法即可求解；

2、第（2）问可以通过直线与椭圆的位置关系建立方程组，利用韦达定理、解方程求解；

易错点

试题分析：本题第（1）问属于椭圆简单几何性质的应用，是基础知识；第（2）问是直线与椭圆的位置关系的问题，常用解析几何的基本思想方法求解，运算量比较大，需要考生在计算过程中认真、细心。

知识点

抛物线焦点弦的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.如果，，…，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，…，，是抛物线的焦点，若，则

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由抛物线方程知p=2，结合焦半径公式|PF|=，=，故选A。

考查方向

本题主要考查了抛物线的性质及焦半径公式，在近几年的各省高考题经常出现，抛物线常与直线结合出题，即圆锥曲线与直线的位置关系。

解题思路

因为|PF|=，所以直接利用抛物线的焦半径公式就可求得。

易错点

1,由抛物线标准方程求不出P;

2、不能正确掌握抛物线的焦半径公式。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质抛物线焦点弦的性质

1

题型：填空题

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填空题 · 15 分

20．已知抛物线：，过焦点的直线交于两点．

（1）若线段的中点为,求点的轨迹方程；

（2）若的面积为(为坐标原点)，求证：为定值，并求出此定值．

正确答案

（1）；

（2）

解析

本题属于圆锥曲线的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）由直线的参数表示出点，再化为直角坐标方程；

（2）根据弦长公式求出长和对应面积。

（1）法一：

设，，

得：

，

（1）当时，，，整理得：

（2）当时，适合*式

综上：的轨迹方程为

（1）法二：

设，，

，，的轨迹方程为

（2）

（定值）

考查方向

本题考查了求轨迹方程的方法、中点弦的处理方法、弦长公式及面积问题，常见求轨迹方程的方法有直译法、定义法、相关点法及参数法。圆锥曲线常见的问题有弦长、中点、面积、角度和“定”问题——定点、定线和定值。

易错点

1、求轨迹方程方法不熟练和点差法如何处理中点弦。

2、含参运算不正确导致出错。

知识点

抛物线焦点弦的性质直接法求轨迹方程圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

13.抛物线的顶点为原点，焦点在轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于点，若，则抛物线的方程为_________________.

正确答案

解析

设抛物线方程与直线的方程联立方程组

；消元可得，

整理得，（1）

设直线与抛物线的两个交点的坐标分别为，

由曲线与方程的定义，为上述方程（1）的两个根，

由根与系数的关系得出两根之和；

由抛物线的定义得出，

解得，

抛物线方程为

考查方向

本题主要考查了抛物线的定义，直线与圆锥曲线的位置关系，在近几年各省的高考试题中出现的频率非常高。

解题思路

本题考查抛物线的定义，直线与圆锥曲线的位置关系，解题步骤如下：

（1）设抛物线方程;

（2）写出直线的方程；

（3）联立方程组由根与系数的关系得出两根之和；

（4）由抛物线的定义得出根与弦长的关系得解。

易错点

本题必须注意充分利用曲线的定义和设而不求，忽视而单纯运算则会出现错误。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质抛物线焦点弦的性质

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

13．抛物线的顶点为原点，焦点在轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于点，若中点的横坐标为3，则抛物线的方程为_______________．

正确答案

解析

设抛物线方程为：，

则

∵直线过焦点且倾斜角为，

∴可设直线方程为：设点

联立直线与抛物线方程，

消整理得由韦达定理可知

又∵中点的横坐标为3，

∴，

∴抛物线方程为．

考查方向

本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题

解题思路

通过设抛物线的方程为，

可得直线的方程为，

联立直线方程和抛物线方程，

消可得并结合韦达定理即中点坐标公式计算即得结论．

易错点

无

知识点

抛物线的标准方程和几何性质抛物线焦点弦的性质

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=　　　　　　．

正确答案

2

知识点

抛物线焦点弦的性质

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