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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知中,角的对边分别为,向量

,且

(1)求的大小;

(2)当取得最大值时,求角的大小和的面积。

正确答案

(1)(2)

解析

(1)因为,所以

,因为,所以

所以  ,       ……………………………………………… 4分

(2)由

,故最大值时,,  ……………………8分

由正弦定理,,得[

,      …………………………………………12分

知识点

正弦函数的奇偶性
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数

(1)求的值;

(2)若,且,求.

正确答案

见解析。

解析

(1) 

(2)

因为,且,所以

所以

知识点

正弦函数的奇偶性
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

在△ABC中,已知A=

(1)求cosC的值;

(2)若BC=2,D为AB的中点,求CD的长。

正确答案

见解析。

解析

(1),∴    …………2分

      ……………………………………………4分

   …………………………6分

(2)由(1)可得     ……………………8分

由正弦定理得,即,解得。  ………………………………10分

中,,所以

知识点

正弦函数的奇偶性
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

A最小正周期为2π的偶函数

B最小正周期为2π的奇函数

C最小正周期为π的偶函数

D最小正周期为π的奇函数

正确答案

D

解析

,所以函数是最小正周期为的奇函数。

知识点

同角三角函数间的基本关系三角函数的周期性及其求法正弦函数的奇偶性二倍角的正弦
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知函数f(x)=cos xsin 2x,下列结论中错误的是(  )。

Ay=f(x)的图像关于点(π,0)中心对称

By=f(x)的图像关于直线对称

Cf(x)的最大值为

Df(x)既是奇函数,又是周期函数

正确答案

C

解析

由题意知f(x)=2cos2x·sin x=2(1-sin2x)sin x.

令t=sin x,t∈[-1,1],

则g(t)=2(1-t2)t=2t-2t3.

令g′(t)=2-6t2=0,得.

当t=±1时,函数值为0;

时,函数值为

时,函数值为.

∴g(t)max

即f(x)的最大值为.故选C.

知识点

正弦函数的奇偶性正弦函数的对称性
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

在平面直角坐标系中,已知点为动点,且直线与直线的斜率之积为

(1)求动点的轨迹的方程;

(2)设过点的直线与曲线相交于不同的两点,若点轴上,且,求点的纵坐标的取值范围。

正确答案

(1)

(2)

解析

(1)解:设动点的坐标为,依题意可知

整理得

所以动点的轨迹的方程为,      ………5分

(2)当直线的斜率不存在时,满足条件的点的纵坐标为,     ………6分

当直线的斜率存在时,设直线的方程为

代入并整理得,

,    

,则

的中点为,则

所以, ………9分

由题意可知

又直线的垂直平分线的方程为

,解得 ,………10分

时,因为,所以

时,因为,所以,………12分

综上所述,点纵坐标的取值范围是,………13分

知识点

正弦函数的奇偶性
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5

(1)证明:﹣3≤f(x)≤3;

(2)求不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集。

正确答案

见解析

解析

(1)f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|=

当2<x<5时,﹣3≤2x﹣7≤3

所以,﹣3≤f(x)≤3

(2)由(Ⅰ)可知

当x≤2时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为空集;

当2<x<5时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x≤5}

当x≥5时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}

知识点

正弦函数的奇偶性
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

中,角所对的边分别,且

(1)判断的形状;

(2)若,求的取值范围。

正确答案

(1)的直角三角形

(2)的取值范围是

解析

(1)解:(法1)因为

由正弦定理可得

,   …………………2分

所以,………………4分

因为在中,

所以,又,………………5分

所以

所以的直角三角形,………………6分

(法2)因为

由余弦定理可得 ,  ………4分

因为,所以, ……………………5分

所以在中,

所以的直角三角形, ………………6分

(2)解:因为 ………8分

=, ……………10分

所以

因为的直角三角形,

所以,且,…………………11分

所以当时,有最小值是, ……………12分

所以的取值范围是, …………………13分

知识点

正弦函数的奇偶性
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面中点,点在侧棱上。

(1)求证:

(2)若中点,求二面角

的余弦值;

(3)若,当平面时,求的值。

正确答案

见解析

解析

(1)证明:取中点,连结

因为

所以,   ………………1分

因为菱形中,

所以

所以,      ………………2分

因为,   ………………3分

所以平面,………………4分

所以,      ………………5分

(2)解:由(1)知

因为侧面底面

且平面底面

所以底面,     …………6分

为坐标原点,如图建立空间直角坐标系,…………7分

因为中点,所以, …………8分

所以

所以平面的法向量为

因为

设平面的法向量为,则

,则,即, ……………9分

由图可知,二面角为锐角,所以余弦值为,………10分

(3)解:因为,所以

由(2)知

若设,则

,得

在平面中,

所以平面法向量为,………………12分

又因为平面

所以,  ……………………13分

,得

所以,当时,平面, ……………14分

知识点

正弦函数的奇偶性
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

在△中,的对边分别是,且的等差中项,则角=                .

正确答案

解析

知识点

正弦函数的奇偶性
下一知识点 : 正弦函数的定义域和值域
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