热门试卷

（1）当即时，轨迹是以、为焦点的椭圆               

当时，轨迹是线段

当时，轨迹不存在

（2）以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，

可得轨迹的方程为

①解法1：设表示点到线段的距离

，

要使的面积有最大值，只要有最大值

当点与椭圆的上顶点重合时，

的最大值为

解法2：在椭圆中，设，记

点在椭圆上，由椭圆的定义得：

在中，由余弦定理得：

配方，得：

从而

得

根据椭圆的对称性，当最大时，最大

当点与椭圆的上顶点重合时，

最大值为

②结论：当时，显然存在除、外的两点、关于直线对称

下证当与不垂直时，不存在除、外的两点、关于直线对称

证法1：假设存在这样的两个不同的点

设线段的中点为   直线

由于在上，故        ①

又在椭圆上，所以有

两式相减，得

将该式写为，

并将直线的斜率和线段的中点，表示代入该表达式中，

得     ②

①、②得，由（1）代入

得

即的中点为点，而这是不可能的.

此时不存在满足题设条件的点和.

证法2：假设存在这样的两个不同的点

，

则，故直线经过原点。

直线的斜率为，则假设不成立，

故此时椭圆上不存在两点（除了点、点外）关于直线对称

（1）因为………………………………………… 2分

所以

因此. ………………………………………………………………… 4分

（2）由（1）知，

.………………………………………………………… 6分

当时，;

当时，.

所以的单调增区间是;

的单调减区间是.……………………………………………………… 9分

（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，.……………………………………………… 10分

所以的极大值为，极小值为.……………12分

所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当.

因此，的取值范围为.……………………………………… 14分

（1）解：函数的定义域为

，令，得

当变化时，，的变化情况如下表：

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是

（2）证明：当时，。设，令

由（1）知在区间内单调递增。

故存在唯一的，使得成立。

（3）证明：∵，由（2）知，，且，

∴

其中，，要使成立，只需且。

当时，若，则由的单调性，有，矛盾。

所以，即，从而成立。

又设，则

所以在内是增函数，在内为减函数，

在上的最大值为

∴成立。

∴当时，成立。

（1） 函数的定义域是.

由已知得，

当时, , 显然函数在上单调递增；

当时, ，令,解得或;

函数在和上单调递增，

综上所述:①当时,函数在上单调递增；

②当时,函数在和上单调递增；

(2)假设函数存在“中值相依切线”

设是曲线上的不同两点，且，

则，

曲线在点处的切线斜率

依题意得：

化简可得： ， 即=

设 ()，上式化为：,

.   令,

.

因为,显然，所以在上递增,

显然有恒成立.   所以在内不存在,使得成立。

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”

（1）∵，且成等比数列，

∴，即，…

∴

又∵∴

（2）∵，       ①

∴，即，

又，    ②

①②得

∴，∴，

则

（1）因为，所以切点为（0，-1）。，，

所以曲线在点（）处的切线方程为：y=(a-1)x-1.-------------------4分

（2）（i）当a>0时，令，则.

因为在上为减函数，

所以在内，在内，

所以在内是增函数，在内是减函数，

所以的最大值为

因为存在使得，所以，所以.

（ii）当时，<0恒成立，函数在R上单调递减,

而，即存在使得，所以.

综上所述，的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞)----------------------------------------13分