导数的乘法与除法法则
共1249题

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题型：简答题

简答题 · 10 分

已知，。

（1）若，求的展开式中的系数；

（2）证明： ,() 。

正确答案

见解析

解析

（1）由已知得

的展开式中的系数为=76

（2）由（1）知应当为函数

展开式中的系数

又两式相减得

所以

所以展开式中的系数等于展开式中的系数

因为此系数为

所以,()

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 10 分

在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求：

（1）圆的直角坐标方程；

（2）圆的极坐标方程。

正确答案

见解析。

解析

（1）圆的直角坐标方程为，

（2）把代入上述方程，得圆的极坐标方程为。

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知函数，若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

的最小值为，

由题设，得，解得。

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知双曲线的焦距为，焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程为

C或

D或

正确答案

解析

由题易知，故，这样的双曲线标准方程有两个。

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，且M＝，求矩阵M。

正确答案

见解析。

解析

设，则由，得

再由，得

联立以上方程组解得a＝2，b＝1，c＝0，d＝1，故。

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

填空题 · 5 分

要得到函数的函数图象，可将函数的图象向右至少平移个单位。

正确答案

解析

将向右至少平移个单位得；

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，O为坐标原点，点A，B在⊙O上，且点A在第一象限，点，点C为⊙O与轴正半轴的交点，设∠COB＝θ。

(1) 求sin2θ的值；

(2) 若，求点A的横坐标xA。

正确答案

见解析

解析

（1）因点C在轴正半轴上，点，∠，

所以由三角函数定义知cosθ＝，

所以sin2θ＝2sinθcosθ＝

（2）因为，又，

所以，由题意可知∠BOA＝45°，

又∠，所以，

而＝。

故点A的横坐标，

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知：R。

求证：。

正确答案

见解析。

解析

因为|m|+|n|≥|m－n|，

所以。

又≥2，故≥3。

所以。

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

在△中，是边的中点，且，。

（1）求的值；

（2）求的值。

正确答案

见解析

解析

（1）在△中，，

∴.……………… 4分

（2）由（1）知，，且，∴.……6分

∵是边的中点，∴.

在△中， ……8分

解得. 由正弦定理得，

∴. …………………12分

知识点

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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，。

（1）求的单调区间；

（2）若的最小值为0，回答下列问题：

（ⅰ）求实数的值；

（ⅱ）已知数列满足,，记[]表示不大于的最大整数，求，求。

正确答案

见解析

解析

（1）函数的定义域为，且，………………1分

当时，，所以在区间内单调递增； …………2分

当时，由，解得；由，解得。

所以的单调递增区间为，单调递减区间为， ………………3分

综上述：时，的单调递增区间是；

时，的单调递减区间是，单调递增区间是，…4分

（2）（ⅰ）由（1）知，当时，无最小值，不合题意； …………5分

当时， …………………………6分

令，则，

由，解得；由，解得。

所以的单调递增区间为，单调递减区间为。

故，即当且仅当x=1时，=0.

因此，， ………………………………………………8分

（ⅱ）因为，所以.

由得于是，因为，所以.

猜想当，时，， ……………………………………10分

下面用数学归纳法进行证明。

①当时，，故成立， ………………………11分

②假设当 (，)时，不等式成立. 则当时，，

由（1）知函数在区间单调递增，

所以，又因为，。

故成立，即当时，不等式成立。

根据①②可知，当，时，不等式成立， ……………13分

因此，= ……………………14分

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