导数的乘法与除法法则_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

如题是收集重庆市2013年的9月和气象才几点处的平均气温，（单位：）的数据制成的频率分布直方图，图中有一处因污迹看不清，已知采集点的平均气温范围是【20.5,26.5】，切平均气温低于22.5 的采集点个数为11，则平均气温不低于22.5 的采集点为

A6

B7

C8

D9

正确答案

D

解析

解析：由图可知，平均气温在和的频率相等，且组距为1，所以平均气温在的频率是，低于的频率是0.10+0.12=0.22，而低于的采集点个数是11，所以样本容量为，则平均气温不低于的采集点个数为个，

故选：D

知识点

导数的乘法与除法法则

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知（为常数，为自然对数的底数），

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值并判断的单调性；

（2）已知在区间上有且仅有一个极值点，且为极大值，判断是否存在，使得不等式成立，并说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）f ′ (x)＝＝

因f (x)在点(0, f (0))处的切线方程为x－y＋1＝0，有，则，

所以f ′ (x)＝－，令f ′ (x)＞0，解得－1＜x＜1，故f (x)在(－1,1)上单调递增。

同理，f (x)在(－∞,－1)和(1,＋∞)上单调递减，

（2）由f (x)在区间 (0,1) 上有且仅有一个极值点x0，且f (x0)为极大值，可知

，则，

而f (2)＝＝＞＞，

由f (x)在(x0, 2)上单调递减，则对m∈(x0, 2)，f (m)＞f (2)＞，

故不存在m∈(x0, 2)，使f (m)－≤0成立，

知识点

导数的乘法与除法法则

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知i是虚数单位，则的实部是（　　）

A﹣1

B1

C﹣1﹣i

D﹣i

正确答案

A

解析

解：==﹣1﹣i，所以复数的实部为：﹣1.故选A。

知识点

导数的乘法与除法法则

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

直线x+y﹣2=0截圆x2+y2=4得到的劣弧的弧长为（　　）

A

B

C

Dπ

正确答案

C

解析

根据题意画出图形，如图所示：

在Rt△AOB中，由|OA|=2，|OB|=2，

根据勾股定理得：|AB|==4，

∵OA=AB，∴∠OBA=30°，

∴∠BAO=60°，又OA=OC，

∴△AOC为等边三角形，

∴∠AOC=60°，又圆O的半径OA=2，

∴的长度l===。

故答案为：

知识点

导数的乘法与除法法则

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

已知抛物线y=ax2（a∈R）的准线方程为y=﹣1，则a=　_________　。

正确答案

解析

抛物线y=ax2的标准方程为 x2=y，∴p=，=，由题意有，故 a=，故答案为：

知识点

导数的乘法与除法法则

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知的三个内角所对的边分别为a，b，c，向量，,且.

（1）求角的大小;

（2）若向量,试求的取值范围。

正确答案

（1）（2）

解析

解析：（1）由题意得，…2分

即. ……3分。

由余弦定理得,

. ……………………5分

（2）, ……………………6分

…………………8分

. ……………………10分

所以，故. ……………………12分

知识点

导数的乘法与除法法则

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

如图，菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为

A3

B

C6

D9

正确答案

D

解析

以A点为坐标原点，建立直角坐标系，因为,菱形的边长为2，所以D点坐标为，,因为是中点，所以,设，则点的活动区域为四边形OBCM内（含边界），则，令，得，由线性规划可知，当直线经过点C时，直线的截距最大，此时最大，所以此时最大值为，选D.

知识点

导数的乘法与除法法则

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

设,分别是椭圆：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连结椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的左顶点作直线交椭圆于另一点.

（ⅰ）若点是线段垂直平分线上的一点,且满足,求实数的值;

（ⅱ）过作垂直于的直线交椭圆于另一点，当直线的斜率变化时,直线是否过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由。

正确答案

（1）

（2）（ⅰ）（ⅱ）直线过轴上的一定点

解析

解析：（1）设,的坐标分别为,其中

由题意得的方程为:

因到直线的距离为,所以有,解得…………………1分

所以有……………………①

由题意知: ,即……②

联立①②解得:

所求椭圆的方程为 …………………………………………4分

（2）由（1）知:, 设

根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为

把它代入椭圆的方程,消去,整理得:

由韦达定理得,则,，

，线段的中点坐标为………………6分

（ⅰ）当时, 则有,线段垂直平分线为轴

于是

由,解得: ……………………………………………8分

当时, 则线段垂直平分线的方程为

因为点是线段垂直平分线的一点,

令,得:，于是

由,解得:

代入,解得:

综上, 满足条件的实数的值为或 ………………………10分

（ⅱ）设，由题意知的斜率,直线的斜率为，则

由　化简得：。

∵此方程有一根为，得，…………………………12分

, 则

所以的直线方程为

令，则。

所以直线过轴上的一定点…………………………………………………14分

知识点

导数的乘法与除法法则

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

阅读右侧程序框图，则输出的数据为______.

正确答案

0

解析

第一次运算，；第二次运算，；第三次运算，；第四次运算，；第五次运算，；第六次不条件，输出.

知识点

导数的乘法与除法法则

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

设正项数列的前n项和为，且满足a1＝，；数列{bn}满足，b1＝1，bn＋1＝（其中e为自然对数的底数）。

（1）求的通项公式

（2）求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）由＝Sn＋1＋Sn＋，得＝Sn＋Sn－1＋(n≥2)

相减有－＝an＋1＋an(n≥2)，由an＞0，则有an＋1－an＝1(n≥2)，

又n＝2时，＝S2＋S1＋，则－a2－＝0，故a2＝或－(舍)，

则有an＋1－an＝1(n≥1)，且a1＝，所以an＝n＋，

（2）由（1），Sn＝，由bn＋1＝，易知bn＞0，故ln bn＋1＝ln bn＋＋ln(1＋)

令f (x)＝x－ln(1＋x) (x＞0)，则f ′ (x)＝1－＝＞0，

故f (x)在(0,＋∞)单调递增，f (x)＞f (0)＝0，所以ln(1＋x)＜x (x＞0)，

故ln bn＋1＝ln bn＋＋ln(1＋)＜lnbn＋＋＝ln bn＋＋，

ln bn＋1－ln bn＜＋(－)，因b1＝1，则ln b1＝0，

故ln bn＋1 ＝(ln bn＋1－ln bn)＋(ln bn－ln bn－1)＋…＋(ln b2－ln b1)

＜＋＋…＋＋[(－)＋(－)＋…＋(－)＋ (1－)]

＝＋(1＋－－)＝1－＋－(＋)＜

即ln bn＋1＜，bn＋1＜＜e2。

当n＝1时，b1＜e2，故bn＜e2。

知识点

导数的乘法与除法法则

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