导数的乘法与除法法则
共1249题

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题型：单选题

单选题 · 5 分

如图，设是图中边长分别为1和2的矩形区域，是内位于函数图象下方的区域（阴影部分），从内随机取一个点，则点取自内的概率为（）

正确答案

解析

将与图象交点记为，则，∴阴影部分的面积，而的面积为，∴所求概率，故选C。

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 12 分

在中,内角A, B, C的对边分别为，已知。

（1）求的值；

（2）若,的周长为5, 求b的长度。

正确答案

（1）2（2）2

解析

（1）根据正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

∴……………2分

化简得：sin(A+B)=2sin(B+C)…………………4分

∴sinC=2sinA,∴.…………………6分

（2）∵

∴b=2…………………………………………12分

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 10 分

设

（1）当，解不等式；

（2）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）时原不等式等价于即，

所以解集为，---------------5分

（2）当时，，令，

由图像知：当时，取得最小值,由题意知：，

所以实数的取值范围为.-------------------10分

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，，。

（1）求证：；

（2）是侧棱上一点，记，当平面时，求实数的值.

正确答案

见解析。

解析

（1）在中，∵，，，∴由余弦定理求得.∴，∴.∵平面平面,交线为，

∴平面，∴

（2）作，交于点，连接，由可知四点共面，连接，所以由（1）的结论可知，平面当且仅当.

在中，由，，，及余弦定理求

得，∴在中，，

因此

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到，那么此函数图像与轴交点的纵坐标为

正确答案

解析

因为函数的最大值为1，最小值为，且在区间上单调递减，又函数值从1减小到，可知为半周期，则周期为，，此时原式为，又由函数过点，代入可得，因此函数为，令，可得.故选A.

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数，则≥1的充要条件是

正确答案

解析

当时，，所以；当时，，所以，（舍）或.所以.故选D.

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 7 分

若二阶矩阵满足：.

（1）求二阶矩阵；

（2）若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程。

正确答案

见解析

解析

（1）设，则，，…………2分

，………………3分

（2），

即 …………………4分

代入可得

，即，

故曲线的方程为， …………………7分

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

填空题 · 5 分

在△中，角的对边分别为，已知，且，则△的面积的最大值为

正确答案

解析

因为，所以，

, 即,解得.

由余弦定理得,，.

（当且仅当时，“=”成立）

从而，即的最大值为.

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 10 分

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（其中为常数）.

（1）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；

（2）当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离。

正确答案

（1）或

（2）

解析

对于曲线M,消去参数，得普通方程为,曲线是抛物线的一部分；对于曲线N，化成直角坐标方程为，曲线N是一条直线. (2分)

（1）若曲线M,N只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由，得，求得. 综合可求得的取值范围是：或. （6分）

（2）当时，直线N: ，设M上点为，，则，

当时取等号，满足，所以所求的最小距离为. (10分)

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数.

（1）若,求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性.

正确答案

见解析。

解析

（1）当时,函数,

函数的定义域为,且

所以曲线在点处的切线方程为

（2）函数的定义域为,且

（i）当时, 在时恒成立,

在上单调递增.

（ii）当时，

①当时，在时恒成立

在上单调递减

②当时，由得

且

所以在和上单调递减，

在上单调递增

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