导数的乘法与除法法则
共1249题

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导数的乘法与除法法则
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题型：单选题

单选题 · 5 分

原命题：“设＞”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（　）个.

正确答案

解析

考虑C=0的情形，只有逆命题和逆否命题正确，选C

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

单选题 · 5 分

二项式的展开式中常数项为

B10

C-20

D40

正确答案

解析

由题可知，展开式中的常数项为，故选D.

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

单选题 · 5 分

用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：

①若 ②若；

③若； ④若

其中真命题的序号是（）

A①③

B①④

C②③

D②④

正确答案

解析

①平行具有传递性，故正确；

②垂直不具有传递性，a与c的方向任意，故错误；

③平行于同一平面的直线位置也任意，故错误；

④垂直与同一平面的两条直线平行，故正确。

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

单选题 · 5 分

某同学想求斐波那契数列（从第三项起每一项等于前两项的和）的前项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（）

A；

B；

C；

D；

正确答案

解析

略

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

单选题 · 5 分

数列共有5项，其中，，且，，则满足条件的不同数列的个数为

正确答案

解析

设则=1或-1由知共有3个1,1个-1.这种组合共有‍个，选B。

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数的图像在点处的切线方程为。

（1）求实数、的值；

（2）曲线上存在两点、，使得△是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围；

（3）当时，讨论关于的方程的实根个数。

正确答案

见解析。

解析

（1）当时，.

因为函数图象在点处的切线方程为.

所以切点坐标为，并且

解得. (3分)

（2）由（1）得，根据条件，的横坐标互为相反数，不妨设，，.

若，则，

由是直角得，，即，

即.此时无解；

若，则. 由于的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即. 同理有，即，

，由于函数的值域是，实数的取值范围是即为所求. (7分)

（3）方程，即，可知0一定是方程的根，

所以仅就时进行研究：方程等价于，

构造函数，

对于部分，函数的图像是开口向下的抛物线的一部分，

当时取得最大值，其值域是；

对于部分，函数，令，得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值1，其值域是，，并且当无限增大时，其图像在轴上方向右无限接近轴但永远也达不到轴. (10分)

因此可画出函数的图像的示意图如下：

可得：

①当时，方程只有唯一实根0；

②当时，方程有两个实根0和；

③当时，方程有三个实根；

④当时，方程有四个实根；

⑤当时，方程有五个实根；

⑥当时，方程有两个实根0和1；

⑦当时，方程有两个实根. (12分)

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）设定义在D上的函数在点处的切线方程为.当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“转点”.当时，问函数是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）当时，

当，当，

所以函数在和单调递增，在单调递减，

所以当时，函数取到极大值为，

当时，函数取到极小值为-2. …………（6分）

（2）当时，由函数在其图像上一点处的切线方程，

得

设

且

…………（10分）

当时，在上单调递减，

所以当时，；

当时，在上单调递减，

所以当时，；

所以在不存在 “转点”. …………（12分）

当时，，即在上是增函数.

当时，当时，即点为“转点”.

故函数存在“转点”，且2是“转点”的横坐标. …………（14分）

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

填空题 · 5 分

展开式中的常数项为

正确答案

解析

略

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

填空题 · 5 分

如图，点M为扇形的弧的四等分点即，动点分别在线段上，且若，，则的最小是。

正确答案

解析

连结OM，设OC=a，则OD=1-a

由余弦定理可得：

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 15 分

设，函数.

（1）若，试求函数的导函数的极小值；

（2）若对任意的，存在，使得当时，都有，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）当时，函数，

则的导数，的导数.

显然，当时，；当时，，

从而在内递减，在内递增。

故导数的极小值为

（2）解法1：对任意的，记函数，

根据题意，存在，使得当时，.

易得的导数，的导数

①若，因在上递增，故当时，>≥0，

于是在上递增，则当时，>，从而在上递增，故当时，，与已知矛盾

②若，注意到在上连续且递增，故存在，使得当

，从而在上递减，于是当时，，

因此在上递减，故当时，，满足已知条件

综上所述，对任意的，都有，即，亦即，

再由的任意性，得，经检验不满足条件，所以

解法2：由题意知，对任意的，存在，使得当时，都有成立，即成立，则存在，使得当时，成立，

又，则存在，使得当时，为减函数，即当时使成立，

又，故存在，使得当时为减函数，

则当时成立，即，得.

知识点

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