- 导数的乘法与除法法则
- 共1249题
设函数,
。
(1)判断函数在
内的单调性,并说明理由;
(2)求最大的整数,使得
对所有的
及
都成立。
(注:.)
正确答案
见解析
解析
(1)函数的导数
,
故在内,当
为奇数时,
,则函数
在
内单调递增;当
为偶数时,
,则函数
在
内单调递减
(2)注意到对任意,
,
由(1),对任意,
当为奇数时,
;当
为偶数时,
.
故当为奇数时,
为偶数,
,即
,
而,故
;
同理,当为偶数时,仍有
.
所以对任意及
,都有
.
又,故
,即
.
因此能够使得
对所有的
及
都成立。
再注意到,故当
充分接近
时,必有
,
这表明不能使得
对所有的
及
都成立.
所以为满足要求的最大整数.
知识点
如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC与BD的交点,E为PB上任意一点。
(1)证明:平面EAC⊥平面PBD;
(2)若PD∥平面EAC,并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°,求PD:AD的值。
正确答案
见解析
解析
解:(2)∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PD
∵菱形ABCD中,AC⊥BD,PD∩BD=D
∴AC⊥平面PBD
又∵AC⊂平面EAC,平面EAC⊥平面PBD;
(2)连接OE,
∵PD∥平面EAC,平面EAC∩平面PBD=OE,PD⊂平面PBD
∴PD∥OE,结合O为BD的中点,可得E为PB的中点
∵PD⊥平面ABCD,∴OE⊥平面ABCD,
又∵OE⊂平面EAC,∴平面EAC⊥平面ABCD,
∵平面EAC∩平面ABCD=AC,BO⊂平面ABCD,BO⊥AC
∴BO⊥平面EAC,可得BO⊥AE
过点O作OF⊥AE于点F,连接OF,则
∵AE⊥BO,BO、OF是平面BOF内的相交直线,
∴AE⊥平面BOF,可得AE⊥BF
因此,∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角,即∠BFO=45°
设AD=BD=a,则OB=a,OA=
a,
在Rt△BOF中,tan∠BFo=,可得OF=
Rt△AOE中利用等积关系,可得OA•OE=OF•AE
即a•OE=
a•
,解之得OE=
∴PD=2OE=,可得PD:AD=
:2
即PD:AD的值为。
知识点
设随机变量X~N(2,32),若P(X≤c)=P(X>c),则c等于
正确答案
解析
由正态曲线的对称性,得是对称轴,故
。
知识点
在“石头、剪刀、布”的游戏中,规定:“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”,现有甲、乙两人玩这个游戏,共玩3局,每一局中每人等可能地独立选择一种手势,设甲赢乙的局数为ξ,则随机变量ξ的数学期望是( )
正确答案
解析
每一局中每人可选择3种手势,则甲、乙两人共有9种手势,其中甲赢乙的手势有3种,故每一局中甲赢乙的概率为,由独立性知玩3局游戏,相当于把“玩1局游戏”重复3次,则随机变量ξ服从二项分布,即ξ~
,则
。
知识点
某学校高一、高二、高三共有2400名学生,为了调查学生的课余学习情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本,已知高一有760名学生,高二有840名学生,则在该学校的高三应抽取 名学生。
正确答案
40
解析
解:∵某高中共有学生2400人,采用分层抽样法抽取容量为120的样本,
∴每个个体被抽到的概率是 =
,
高三年级有2400﹣760﹣840=800人
∴要在高三抽取800×=40人,
故答案为:40。
知识点
如图,在梯形中,
∥
,
,
,四边形
为矩形,平面
⊥平面
,
。
(1) 求证:⊥平面
(2)若点在线段
上移动,试问是否存在点
,使得平面
与平面
所成的二面角为
,若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=,
∴ ,
,
∴ ,∴
,
又平面⊥平面
,
是交线,
平面
,
∴ ⊥平面
。………………5分
(2)由(1)知,、
、
两两垂直,以
为原点,
、
、
所在的直线为
、
、
轴建立空间直角坐标系(如图),
则,
,设
,
则,
,
设是平面
的法向量,则
取
,得
,
显然是平面
的一个法向量,
于是,化简得
,此方程无实数解,
∴ 线段上不存在点
使得平面
与平面
所成的二面角为
………………12分
知识点
已知点P(3,3),Q(3,-3),O为坐标原点,动点M(x, y)满足,则点M所构成的平面区域的面积是( )
正确答案
解析
由条件知满,即
,点M所构成的平面区域为边长为
的正方形,其面足
积为 32。
知识点
对于函数f(x),若存在区间M=[a,b],使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的﹣个“好区间”,给出下列4个函数:
①f(x)=sinx;
②f(x)=|2x﹣1|;
③f(x)=x3﹣3x;
④f(x)=lgx+l。
其中存在“好区间”的函数是 , (填入相应函数的序号)
正确答案
②③④
解析
解:①函数f(x)=sinx在上是单调增函数,若函数在
上存在“好区间”[a,b],
则必有sina=a,sinb=b。
即方程sinx=x有两个根,令g(x)=sinx﹣x,g′(x)=cosx﹣1≤0在上恒成立,
所以函数g(x)在上为减函数,则函数g(x)=sinx﹣x在
上至多有一个零点,
即方程sinx=x在上不可能有两个解,又因为f(x)的值域为[﹣1,1],所以当x<
或x>
时,
方程sinx=x无解。
所以函数f(x)=sinx没有“好区间”;
②对于函数f(x)=|2x﹣1|,该函数在[0,+∞)上是增函数,由幂函数的性质我们易得,M=[0,1]时,
f(x)∈[0,1]=M,所以M=[0,1]为函数f(x)=|2x﹣1|的一个“好区间”;
③对于函数f(x)=x3﹣3x,f′(x)=3x2﹣3=3(x﹣1)(x+1)。
当x∈(﹣1,1)时,f′(x)0。
所以函数f(x)=x3﹣3x的增区间是(﹣∞,﹣1),(1,+∞),减区间是(﹣1,1)。
取M=[﹣2,2],此时f(﹣2)=﹣2,f(﹣1)=2,f(1)=﹣2,f(2)=2。
所以函数f(x)=x3﹣3x在M=[﹣2,2]上的值域也为[﹣2,2],则M=[﹣2,2]为函数的一个“好区间”;
④函数f(x)=lgx+1在定义域(0,+∞)上为增函数,若有“好区间”
则lga+1=a,lgb+1=b,也就是函数g(x)=lgx﹣x+1有两个零点。
显然x=1是函数的一个零点,
由<0,得x>
,函数g(x)在
上为减函数;
,得x<
,函数在(0,
)上为增函数。
所以g(x)的最大值为g()>g(1)=0,
则该函数g(x)在(0,)上还有一个零点。
所以函数f(x)=lgx+1存在“好区间”。
故答案为②③④。
知识点
在△ABC中,分别为角A、B、C的对边,
,
=3, △ABC的面积为6,D为△ABC内任一点,点D到三边距离之和为d。
(1)求角A的正弦值;
(2)求边b、c;
(3)求d的取值范围
正确答案
见解析
解析
(1)
(2),
20,
由及
20与
=3,解得b=4,c=5或b=5,c= 4 。
(3)设D到三边的距离分别为x、y、z,
则,
,
又x、y满足,由线性规划知识得:
.
知识点
在等比数列中,已知
,公比
,等差数列
满足
.
(1)求数列与
的通项公式;
(2)记,求数列
的前n项和
.
正确答案
见解析
解析
解:(1) 设等比数列的公比为
,等差数列
的公差为
.
由已知得:,
或
(舍去)
所以, 此时
所以,,
(2) 由题意得:
当为偶数时,
当为奇数时,
所以,
知识点
扫码查看完整答案与解析