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题型:简答题
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简答题 · 15 分

设函数

(1)判断函数内的单调性,并说明理由;

(2)求最大的整数,使得对所有的都成立。

(注:.)

正确答案

见解析

解析

(1)函数的导数 

  ,    

故在内,当为奇数时,,则函数内单调递增;当为偶数时,,则函数内单调递减

(2)注意到对任意,                      

由(1),对任意

为奇数时,;当为偶数时,.         

故当为奇数时,为偶数,,即

,故;               

同理,当为偶数时,仍有.

所以对任意,都有.         

,故,即.

因此能够使得对所有的都成立。

再注意到,故当充分接近时,必有

这表明不能使得对所有的都成立.

所以为满足要求的最大整数.          

知识点

导数的乘法与除法法则
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,O为AC与BD的交点,E为PB上任意一点。

(1)证明:平面EAC⊥平面PBD;

(2)若PD∥平面EAC,并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°,求PD:AD的值。

正确答案

见解析

解析

解:(2)∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PD

∵菱形ABCD中,AC⊥BD,PD∩BD=D

∴AC⊥平面PBD

又∵AC⊂平面EAC,平面EAC⊥平面PBD;

(2)连接OE,

∵PD∥平面EAC,平面EAC∩平面PBD=OE,PD⊂平面PBD

∴PD∥OE,结合O为BD的中点,可得E为PB的中点

∵PD⊥平面ABCD,∴OE⊥平面ABCD,

又∵OE⊂平面EAC,∴平面EAC⊥平面ABCD,

∵平面EAC∩平面ABCD=AC,BO⊂平面ABCD,BO⊥AC

∴BO⊥平面EAC,可得BO⊥AE

过点O作OF⊥AE于点F,连接OF,则

∵AE⊥BO,BO、OF是平面BOF内的相交直线,

∴AE⊥平面BOF,可得AE⊥BF

因此,∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角,即∠BFO=45°

设AD=BD=a,则OB=a,OA=a,

在Rt△BOF中,tan∠BFo=,可得OF=

Rt△AOE中利用等积关系,可得OA•OE=OF•AE

a•OE=a•,解之得OE=

∴PD=2OE=,可得PD:AD=:2

即PD:AD的值为

知识点

导数的乘法与除法法则
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设随机变量X~N(2,32),若P(X≤c)=P(X>c),则c等于

A0

B1

C2

D3

正确答案

C

解析

由正态曲线的对称性,得是对称轴,故

知识点

导数的乘法与除法法则
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

在“石头、剪刀、布”的游戏中,规定:“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”,现有甲、乙两人玩这个游戏,共玩3局,每一局中每人等可能地独立选择一种手势,设甲赢乙的局数为ξ,则随机变量ξ的数学期望是(  )

A           

B                     

C                     

D1

正确答案

D

解析

每一局中每人可选择3种手势,则甲、乙两人共有9种手势,其中甲赢乙的手势有3种,故每一局中甲赢乙的概率为,由独立性知玩3局游戏,相当于把“玩1局游戏”重复3次,则随机变量ξ服从二项分布,即ξ~,则

知识点

导数的乘法与除法法则
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

某学校高一、高二、高三共有2400名学生,为了调查学生的课余学习情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本,已知高一有760名学生,高二有840名学生,则在该学校的高三应抽取  名学生。

正确答案

40

解析

解:∵某高中共有学生2400人,采用分层抽样法抽取容量为120的样本,

∴每个个体被抽到的概率是 =

高三年级有2400﹣760﹣840=800人

∴要在高三抽取800×=40人,

故答案为:40。

知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在梯形中,,四边形为矩形,平面⊥平面

(1) 求证:⊥平面

(2)若点在线段上移动,试问是否存在点,使得平面与平面所成的二面角为 ,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=

∴ 

∴ ,∴ 

又平面⊥平面是交线,平面

∴ ⊥平面。………………5分

(2)由(1)知,两两垂直,以为原点,所在的直线为轴建立空间直角坐标系(如图),

,设

是平面的法向量,则

,得

显然是平面的一个法向量,

于是,化简得,此方程无实数解,

∴ 线段上不存在点使得平面与平面所成的二面角为………………12分

知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知点P(3,3),Q(3,-3),O为坐标原点,动点M(x, y)满足,则点M所构成的平面区域的面积是(  )

A12           

B16

C32

D64

正确答案

D

解析

由条件知满,即,点M所构成的平面区域为边长为的正方形,其面足积为 32。

知识点

导数的乘法与除法法则
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

对于函数f(x),若存在区间M=[a,b],使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的﹣个“好区间”,给出下列4个函数:

①f(x)=sinx;

②f(x)=|2x﹣1|;

③f(x)=x3﹣3x;

④f(x)=lgx+l。

其中存在“好区间”的函数是  ,  (填入相应函数的序号)

正确答案

②③④

解析

解:①函数f(x)=sinx在上是单调增函数,若函数在上存在“好区间”[a,b],

则必有sina=a,sinb=b。

即方程sinx=x有两个根,令g(x)=sinx﹣x,g(x)=cosx﹣1≤0在上恒成立,

所以函数g(x)在上为减函数,则函数g(x)=sinx﹣x在上至多有一个零点,

即方程sinx=x在上不可能有两个解,又因为f(x)的值域为[﹣1,1],所以当x<或x>时,

方程sinx=x无解。

所以函数f(x)=sinx没有“好区间”;

②对于函数f(x)=|2x﹣1|,该函数在[0,+∞)上是增函数,由幂函数的性质我们易得,M=[0,1]时,

f(x)∈[0,1]=M,所以M=[0,1]为函数f(x)=|2x﹣1|的一个“好区间”;

③对于函数f(x)=x3﹣3x,f(x)=3x2﹣3=3(x﹣1)(x+1)。

当x∈(﹣1,1)时,f(x)0。

所以函数f(x)=x3﹣3x的增区间是(﹣∞,﹣1),(1,+∞),减区间是(﹣1,1)。

取M=[﹣2,2],此时f(﹣2)=﹣2,f(﹣1)=2,f(1)=﹣2,f(2)=2。

所以函数f(x)=x3﹣3x在M=[﹣2,2]上的值域也为[﹣2,2],则M=[﹣2,2]为函数的一个“好区间”;

④函数f(x)=lgx+1在定义域(0,+∞)上为增函数,若有“好区间”

则lga+1=a,lgb+1=b,也就是函数g(x)=lgx﹣x+1有两个零点。

显然x=1是函数的一个零点,

<0,得x>,函数g(x)在上为减函数;

,得x<,函数在(0,)上为增函数。

所以g(x)的最大值为g()>g(1)=0,

则该函数g(x)在(0,)上还有一个零点。

所以函数f(x)=lgx+1存在“好区间”。

故答案为②③④。

知识点

导数的乘法与除法法则
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

在△ABC中,分别为角A、B、C的对边,=3, △ABC的面积为6,D为△ABC内任一点,点D到三边距离之和为d。

(1)求角A的正弦值; 

(2)求边b、c;

(3)求d的取值范围

正确答案

见解析

解析

(1)

(2)20,

20与=3,解得b=4,c=5或b=5,c= 4 。

(3)设D到三边的距离分别为x、y、z,

,,

又x、y满足,由线性规划知识得:.

知识点

导数的乘法与除法法则
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

在等比数列中,已知,公比,等差数列满足.

(1)求数列的通项公式;

(2)记,求数列的前n项和.

正确答案

见解析

解析

解:(1) 设等比数列的公比为,等差数列的公差为.

由已知得:

或 (舍去)

所以, 此时 

所以,,     

(2) 由题意得:

为偶数时,

为奇数时,

所以,

知识点

导数的乘法与除法法则
下一知识点 : 简单复合函数的导数
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