热门试卷

（1）对于曲线消去参数得：

当时，；当时，. (3分)

对于曲线：，，则. (5分)

（2） 当时，曲线的方程为，联立的方程消去得

，即，

，

圆心为，即，从而所求圆方程为. (10分)

（1）在△ABC中，，由正弦定理可得，解得，∴。

（2）由，，由余弦定理可得，即。

再由，可得，∴△ABC的面积，故△ABC面积S 的最大值为。

（1）由题意得

又，故是以为首项，以2为公差的等差数列；   

（2）由（1）得

（3）设对任意存在,使得,

即

整理得，而总为偶数且非负，

故                                       

（1）证明：设AC交BD于O，

∵S﹣ABCD为正四棱锥，∴SO⊥底面ABCD，

∴SO⊥AC，

又∵BD⊥AC，SO∩BD=O，

∴AC⊥平面SBF，∴AC⊥SO，

∵SD∥FG，∴AC⊥GF，又AC⊥GE，∴AC⊥平面GEF，

又∵PE⊂面GEF，∴PE⊥AC

（2）解：设AB=2，如图建立空间直角坐标系，

则G（0，1，0），E（1，0，0），C（1，1，0），

S（0，0，），F（，，），B（1，﹣1，0），

∴，

设，故点

∴，

设面EFG的法向量为=（a，b，c），

∵

∴，令a=1，得=（1，1，0）

设BP与平面EFG所成角为α，

则=

∵点P在线段FG上，∴0≤λ≤1，即λ=1时sinα取最大值

此时点P与点F重合

设二面角P﹣BD﹣C的大小为θ

∵点P到平面ABCD的距离为，点P到BD的距离为1

则

∴二面角P﹣BD﹣C的大小为45°

（1）连接,则

 PA 面ABCD.

 PCBD

（2）（i）设连接,过点作于,则，是三棱锥E-BCD的高

由题知：是直角三角形，其中

设，则，从而在直角中有:

当且仅当时，取得最大值，最大值为：，此时三棱锥E-BCD的体积取到最大值

此时四棱锥E-ABCD的高为：

（ii）

以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则;;;

由（i）知:

,,

设平面ADE的法向量为：，则,即，令：则，

平面ADE的一个法向量为：

是平面BDE的一个法向量

（1）由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.

因为      E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又   BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

因为PA∩AD=A，所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

所以 AE⊥PD.

（2）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.

由（1）知   AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，

所以  当AH最短时，∠EHA最大，

即     当AH⊥PD时，∠EHA最大.

此时    tan∠EHA=

因此   AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，

所以    PA=2.

解法一：因为   PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

所以   平面PAC⊥平面ABCD.

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,

又    

在Rt△ESO中，cos∠ESO=

即所求二面角的余弦值为

解法二：

由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以

E、F分别为BC、PC的中点，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），

所以    

设平面AEF的一法向量为,

则

因此

取,则

因为  BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以   BD⊥平面AFC，

故     为平面AFC的一法向量.

又     =（-），

所以  cos＜m, ＞=

因为   二面角E-AF-C为锐角，

所以所求二面角的余弦值为

（1）

∵

∴的单调递增区间为

（2）∵

∴

∵

∴