热门试卷

（1）当时， ；当时，. 因此，

当时，，f（x）在（0，a）上单调递减；

当时，，f（x）在上单调递增.

① 若，则f（x） 在[0，4]上单调递减，

② 若，则f（x） 在[0，a]上单调递减，在（a，4）上单调递增.　所以

. 而，　故

当时，；当时，

综上所述，

（2）　由（I）可知，若，则f（x） 在[0，4]上单调递减，故不满足要求.

当，则f（x） 在[0，a]上单调递减，在（a，4）上单调递增.　若存在，使曲线在，两点处的切线互相垂直，则，，且.　即

，　亦即　　　（*）

由，得　，

故（*）成立等价于集合与集合的交集非空.

因为，所以当且仅当，即时，.

综上所述，存在使函数在区间内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直，且a的取值范围是.

（1）因为焦距为1，所以2a2－1＝，

解得a2＝.

故椭圆E的方程为.

（2）设P（x0，y0），F1（－c,0），F2（c,0），其中.

由题设知x0≠c，

则直线F1P的斜率＝，

直线F2P的斜率＝，

故直线F2P的方程为y＝。

当x＝0时，y＝，

即点Q坐标为.

因此，直线F1Q的斜率为＝.

由于F1P⊥F1Q，

所以＝＝－1.

化简得，①

将①代入椭圆E的方程，由于点P（x0，y0）在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上。

本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。

（1）

1）。

当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，

此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；

当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，

此时的最大值为：

＝|2a－b|﹢a；

综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a；

2） 要证＋|2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤|2a－b|﹢a。

亦即证在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a－b|﹢a，

∵，∴令。

当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，

此时的最大值为：＝|2a－b|﹢a；

当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，

≤|2a－b|﹢a；

综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于（或等于）|2a－b|﹢a。

即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立。

（2）由（1）知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，

且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣（|2a－b|﹢a）要大。

∵﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，

∴|2a－b|﹢a≤1。

取b为纵轴，a为横轴。

则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b。

作图如下：

由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P（1，2）时，有。

∴所求a＋b的取值范围为：。