抽象函数及其应用
共45题

· 抽象函数及其应用

抽象函数及其应用
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知定义在R上的函数，对任意实数都有，且.

（1）若对任意正整数，有，求、的值，并证明为等比数列；

（2）设对任意正整数，有，若不等式对任意不小于2的正整数都成立，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）令，得，

则，

令，得，

则，

令，得，

即，

则，

所以，数列是等比数列，公比，首项.

（2）令，得，即

则是等差数列，公差为2，首项，

故，

设，则

，

所以是递增数列，，

从而，即

则，解得。

知识点

抽象函数及其应用其它方法求和

题型：填空题

填空题 · 5 分

函数满足，，则不等式的解集为

正确答案

解析

利用换元法，将换元成，则原式化为，

当时，，且，又由，

可知当时，；当时，.

故的解集为，即，因此.

知识点

抽象函数及其应用导数的加法与减法法则

题型：填空题

填空题 · 5 分

14.已知函数满足:,则 ________ .

正确答案

解析

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知识点

抽象函数及其应用函数的周期性

题型：单选题

单选题 · 5 分

6．设奇函数满足，当时，=，则（）

正确答案

解析

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知识点

抽象函数及其应用函数的值

题型：单选题

单选题 · 5 分

11.已知是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，且在（-∞，0]上是增函数，设

，则的大小关系是（　　）

正确答案

解析

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知识点

函数单调性的性质函数奇偶性的性质抽象函数及其应用对数值大小的比较

题型：简答题

简答题 · 14 分

19.已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足：.

（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并写出证明过程；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）已知，设=（n∈N*），求数列{}的通项公式.

正确答案

解析

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知识点

函数奇偶性的判断抽象函数及其应用由递推关系式求数列的通项公式数列与函数的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．函数f(x)的定义域是R,f(0)＝2,对任意x∈R，f(x)＋f ′(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为（）

A{x|x>0}

B{x|x<0}

C{x|x<－1，或x>1}

D{x|x<－1，或0<x<1}

正确答案

解析

令g（x）=ex•f（x）-ex，则g′（x）=ex•[f（x）+f′（x）-1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立，即g（x）=ex•f（x）-ex在R上为增函数，又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=ex•f（x）-ex＞1的解集为{x|x＞0}，即不等式ex•f（x）＞ex+1的解集为{x|x＞0}

知识点

函数单调性的性质抽象函数及其应用导数的运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

12．已知定义在R上的可导函数满足：，则与的大小关系是（）

D不确定

正确答案

解析

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知识点

抽象函数及其应用导数的运算不等式的性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

19．已知：函数的定义域为，且满足对于任意，都有。

（1）求：的值；　　

（2）判断的奇偶性并证明；

（3）如果，，且在上是增函数，求：的取值范围。

正确答案

（1）解：令，则，

（2）证明：令，则，
　　　　　　　令，，则，即，∴为偶函数，

（3）∵，，

∴即为（1）

∵上是增函数，

∴（1）等价于不等式组：或，

则或，

∴

解析

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知识点

函数单调性的性质函数奇偶性的判断抽象函数及其应用函数的值

题型：单选题

单选题 · 5 分

4. 若奇函数f(x)(x∈R)满足f(3)＝1，f(x＋3)＝f(x)＋f(3)，则f等于（）

正确答案

解析

∵f（x+3）=f（x）+f（3），令x=-，则f（-+3）=f（- ）+f（3），即f（）=f（- ）+f（3），∴f（）=

知识点

函数奇偶性的性质抽象函数及其应用

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