- 抽象函数及其应用
- 共45题
20.设的定义域为(0,+∞)对于任意正实数m、n恒有 且当时,
(1)求的值;
(2)求证:在(0,+∞)上是增函数;
(3)解关于x的不等式,其中
正确答案
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24.已知函数,如果存在给定的实数对,使得恒成立,则称为“函数”.
(1)判断函数是否是“函数”;
(2)若是一个“函数”,求出所有满足条件的有序实数对;
(3)若定义域为的函数是“函数”,且存在满足条件的有序实数对和,当时,的值域为,求当时函数的值域.
正确答案
解:(1)若是“函数”,则存在常数,使得.
即时,对恒成立.而最多有两个解,矛盾,
因此不是“函数” .
若是“函数”,则存在常数使得,
即存在常数对满足条件.因此是“函数” .
(2)是一个“函数”,设有序实数对满足:
则恒成立.
当时,,不是常数.
因此,当时,
则有,
即恒成立.
即,
当,时,成立.
因此满足是一个“函数”,.
(3) 函数是“函数”,且存在满足条件的有序实数对和,
于是
即,
,.时,
.
因此,
综上可知当时函数的值域为.
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12.定义在R上的函数满足,当时,,则函数在上有( )
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6.设奇函数在(0,+∞)上为增函数,且,则不等式 的解集为( )
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16.设函数的定义域为,若存在非零实数使得对于任意,有,且,则称为上的高调函数.如果定义域为的函数为上的高调函数,那么实数的取值范围是_________.
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10.已知函数对任意都有,若的图象关于直线对称,且,则( )
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7.设是周期为2的奇函数,当时,=,则=_____
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10.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是( )
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23.对于函数,如果存在实数使得,那么称为的生成函数
(1)下面给出两组函数,是否分别为的生成函数?并说明理由;
第一组:;
第二组:;
(2)设,生成函数。若不等式 在上有解,求实数的取值范围;
(3)设,取,生成函数图像的最低点坐标为。若对于任意正实数且。试问是否存在最大的常数,使恒成立?如果存在,求出这个的值;如果不存在,请说明理由。
正确答案
(1)① 设,即,
取,所以是的生成函数.
② 设,即,
则,该方程组无解.所以不是的生成函数.
(2)
,即,
也即
因为,所以
则
函数在上单调递增,.故,.
(3)由题意,得,则
,解得,所以
假设存在最大的常数,使恒成立.
于是设
=
令,则,即
设,.
设,
, ,所以在上单调递减,
,故存在最大的常数
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13.定义在R上的函数满足,当时,求=_______________
正确答案
-1
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