数学 海淀区2015年高三试卷
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.已知直线l⊥平面α,直线m平面β,有下面四个命题:

其中正确的两个命题的序号是(   )

A①与②

B③与④

C②与④

D①与③

正确答案

D

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

四种命题及真假判断
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.下列函数的图象中,经过平移或翻折后不能与函数的图象重合的函数是(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.如右图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等,则动点P所在曲线的形状为(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

空间几何体的结构特征
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5. 函数的大致图象是(     )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

函数的图象与图象变化
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.设则以下不等式中不恒成立的是(   )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.函数,在区间上是增函数,且,则函数在区间上(    )

A是增函数

B是减函数

C可以取得最大值M

D可以取得最小值-M

正确答案

C

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.  已知集合,则实数a的取值范围是(   )

A[1,2]

B(-1,2)

C[-1,2]

D(-2,1)

正确答案

B

解析

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知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.设a、b是方程的两个不相等的实数根,那么过点A(a,a2)和B(b,b2)的直线与圆的位置关系是(    )

A相交

B相切

C相离

D随θ的值变化而变化

正确答案

A

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

10.等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,若存在自然数,使得am=Sm , 当n>m时,Sn与an的大小关系为:_______.(填“>”;“<”或“=”)

正确答案

<

解析

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知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:填空题
|
分值: 5分

9.若实数x、y满足的最大值为___________.

正确答案

7

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
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分值: 5分

14.某纺织厂的一个车间有n(n>7,n∈N)台织布机,编号分别为1,2,3,……,n,该车间有技术工人n名,编号分别为1,2,3,……,n.现定义记号如下:如果第i名工人操作了第j号织布机,此时规定=1,否则=0.若第7号织布机有且仅有一人操作,则       ___________;若,说明:_____________.

正确答案

1;第3名工人操作了两台织布机

解析

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知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:填空题
|
分值: 5分

11.2003年10月15日,我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉卫星发射中心胜利升空,实现了中华民族千年的飞天梦,飞船进入的是椭圆轨道,已知该椭圆轨道与地球表面的最近距离约为200公里,最远距离约350公里(地球半径约为6370公里),则轨道椭圆的标准方程为(精确到公里)______________.(注:地球球心位于椭圆轨道的一个焦点,写出一个方程即可)

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
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分值: 5分

12.某民航站共有1到4四个入口,每个入口处每次只能进一个人,一小组4个人进站的方案数为______________.

正确答案

840

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.设是任意非零的平面向量,且互不共线,给出下面的五个命题:

(1)··;        

(2)··不与向量垂直.;

(3);      

(4)若·,则,或者

(5)··  ;   

(6)·

其中真命题的序号为_____________________________.

正确答案

(3),(6)

解析

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知识点

命题的真假判断与应用平面向量数量积的运算量积判断两个平面向量的垂直关系
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

17.某校有教职员工150人,为了丰富教工的课余生活,每天下午4:00~5:00同时开放健身房和娱乐室,要求所有教工每天必须参加一个活动.据调查统计,每次去健身房的人有10%下次去娱乐室,而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问,随着时间的推移,去健身房的人数能否趋于稳定?

正确答案

设第n次去健身房的人数为an,去娱乐室的人数为bn,则.

.

,于是

即      .

.故随着时间的推移,去健身房的人数稳定在100人左右.

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
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分值: 14分

19.已知函数的最大值不大于,又当

(1)求a的值;

(2)设

正确答案

(1)解:由于的最大值不大于所以

        ①

所以.  ②

由①②得

(2)证法一:(i)当n=1时,,不等式成立;

时不等式也成立.

(ii)假设时,不等式成立,因为的对称轴为为增函数,所以由

于是有

所以当n=k+1时,不等式也成立.

根据(i)(ii)可知,对任何,不等式成立.

证法二:(i)当n=1时,,不等式成立;

(ii)假设时不等式成立,即,则当n=k+1时,

所以

于是   因此当n=k+1时,不等式也成立.

根据(i)(ii)可知,对任何,不等式成立.

证法三:(i)当n=1时,不等式成立;

(ii)假设时.

  ①

于是   因此当n=k+1时,不等式也成立.

根据(i)(ii)可知,对任何,不等式成立.

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
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分值: 13分

15.在ΔABC中,角A、B、C所对的边分别为、b、c,且.

(1)求的值;

(2)若,求bc的最大值。

正确答案

(1)=

===

(2) ∵

,

又∵         

 ∴

当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.

解析

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知识点

任意角的概念
1
题型:简答题
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分值: 13分

16.如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.

(1)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;

(2)当D1E⊥平面AB1F时,求二面角C1—EF—A的大小(结果用反三角函数值表示).

正确答案

解法一:(1)连结A1B,则A1B是D1E在面ABB1A;内的射影。

    

∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1

于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.

连结DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影.

∴D1E⊥AFDE⊥AF.

∵ABCD是正方形,E是BC的中点.

∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,

即当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.

(2)当D1E⊥平面AB1F时,由(1)知点F是CD的中点.

又已知点E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD. 连结AC,

设AC与EF交于点H,则CH⊥EF,连结C1H,则CH是C1H在底面ABCD内的射影.

C1H⊥EF,即∠C1HC是二面角C1—EF—C的平面角.

在Rt△C1CH中,∵C1C=1,CH=AC=,  ∴tan∠C1HC=.

又因为∠AHC1=∠C1HC,故二面角C1—EF—A的平面角的正切值为

解法二:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系。

(1)设DF=x,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),

A1(0,0,1),B(1,0,1),D1(0,1,1),E,F(x,1,0)

。     ∴

于是,

,故当F是CD中点时,

(2)当D1E⊥平面AB1F时,F是CD的中点,又E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD. 连结AC,设AC与EF交于点H,则AH⊥EF. 连结C1H,则CH是C1H在底面ABCD内的射影.

∴C1H⊥EF,即∠AHC1是二面角C1—EF—A的平面角.

,即二面角C1—EF—A的平面角的正切值为

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知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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分值: 13分

18.某人居住在城镇的A处,准备开车到单位B处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图.(例如:A→C→D算作两个路段:路段AC发生堵车事件的概率为,路段CD发生堵车事件的概率为

(1)请你为其选择一条由A到B的最短路线(即此人只选择从西向东和从南向北的路线),使得途中发生堵车事件的概率最小;

(2)若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量,求的数学期望

正确答案

(1)记路段MN发生堵车事件为MN.

因为各路段发生堵车事件都是独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1

1-P(

=1-[1-P(AC)][1-P(CD)][1-P(DB)]

=1-

同理:路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1-P(

路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1-P(

显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小.只可能在以上三条路线中选择.

因此选择路线A→C→F→B,可使得途中发生堵车事件的概率最小。

(2)路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0,1,2,3.

答:路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为

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知识点

随机事件的关系
1
题型:简答题
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分值: 14分

20.已知抛物线的焦点为F,过作两条互相垂直的弦,设的中点分别为

(1)求证:直线必过定点,并求出定点坐标.

(2)分别以为直径作圆,求两圆相交弦中点的轨迹方程.

正确答案

(1)证明:由题可知,设,直线AB的方程为,则由消去x可得

所以,,即,代入方程,解得,所以,点M的坐标为

同理可得:的坐标为

直线的方程为,整理得

显然,不论为何值,均满足方程,所以直线恒过定点

(2)过作准线的垂线,垂足分别为。由抛物线的性质不难知道:准线为圆与圆的公切线,设两圆的相交弦交公切线于点,则由平面几何的知识(切割线定理)可知:的中点。所以

又因为公共弦必与两圆的连心线垂直,所以公共弦的斜率为

所以,公共弦所在直线的方程为

所以公共弦恒过原点。

根据平面几何的知识知道:公共弦中点就是公共弦与两圆连心线的交点,所以原点、定点、所求点构成以为直角顶点的直角三角形,即在以为直径的圆上。

又对于圆上任意一点(原点除外),必可利用方程求得值,从而以上步步可逆,故所求轨迹方程为

解析

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知识点

直线的倾斜角与斜率

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