数学 热门试卷

设第n次去健身房的人数为an，去娱乐室的人数为bn，则.

.

，于是

即      .

.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.

（1）解：由于的最大值不大于所以

        ①

又所以.  ②

由①②得

（2）证法一：（i）当n=1时，，不等式成立；

因时不等式也成立.

（ii）假设时，不等式成立，因为的对称轴为知为增函数，所以由得

于是有

所以当n=k+1时，不等式也成立.

根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.

证法二：（i）当n=1时，，不等式成立；

（ii）假设时不等式成立，即，则当n=k+1时，

因所以

于是   因此当n=k+1时，不等式也成立.

根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.

证法三：（i）当n=1时，不等式成立；

（ii）假设时.

若则  ①

若则

于是   因此当n=k+1时，不等式也成立.

根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.

（1）=

===

（2） ∵，

∴,

又∵         

 ∴

当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.

解法一：（1）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影。

∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，

于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.

连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影.

∴D1E⊥AFDE⊥AF.

∵ABCD是正方形，E是BC的中点.

∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，

即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.

（2）当D1E⊥平面AB1F时，由（1）知点F是CD的中点.

又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，

设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.

C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1—EF—C的平面角.

在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=，  ∴tan∠C1HC=.

又因为∠AHC1=∠C1HC，故二面角C1—EF—A的平面角的正切值为。

解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。

（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），

A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）

∴。     ∴

于是，。

即，故当F是CD中点时，。

（2）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF. 连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.

∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1—EF—A的平面角.

，即二面角C1—EF—A的平面角的正切值为。

（1）记路段MN发生堵车事件为MN.

因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为

1－P（

=1－[1－P（AC）][1－P（CD）][1－P（DB）]

=1－；

同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1－P（

路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P（

显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小.只可能在以上三条路线中选择.

因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小。

（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3.

答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为．