• 数学 东城区2013年高三试卷
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

1.已知复数 ,则等于(  )

A0

B

C2

D-2

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1

2.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是(    )

A

B1

C2

D

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1

4.已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β,有下列命题:

①若m∥n,n⊂α,则m∥α;

②若l⊥α,m⊥β且l∥m,则α∥β;

③若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;

④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.

其中正确的命题个数是(  )

A1

B2

C3

D4

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1

7.已知不等式组,表示的平面区域为,若直线与平面区域有公共点,则的取值范围是(  )

A

B

C

D

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1

8.△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β垂直,且AD⊥α,BC⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB,则点P在平面α内的轨迹是(    )

A圆的一部分

B椭圆的一部分

C双曲线的一部分

D抛物线的一部分

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1

3.已知非零向量满足0,向量的夹角为,且,则向量的夹角为(     )

A

B

C

D

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1

5.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为(    )

A2

B

C

D

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1

6.已知抛物线)的焦点恰好是双曲线的一个焦点,且两条曲线交点的连线过点,则该双曲线的离心率为(    )

A

B

C

D

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填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1

9.若的展开式中的常数项为,则实数________.

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1

10.如图,圆的弦ED,CB的延长线交于点A.若BDAE,AB=4,BC=2,AD=3,则DE=________;CE=___________.

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1

11.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],……,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.根据此频率分布直方图,可知重量超过500克的产品共有________件.

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1

12.有2位男生和3位女生共5位同学站成一排.若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数为____.

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1

13.已知,A是曲线围成的区域,若向区域上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为____________.

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1

14.已知是等比数列,是等差数列,,其前项和满足.在数列中任取一项,在数列中任取一项,记“点位于以原点为圆心,9为半径的圆的内部”为事件

(Ⅰ)若,则=________;

(Ⅱ)若,则整数的最小值为______.

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简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

15. 已知函数

(Ⅰ)求的最小正周期和单调区间;

(Ⅱ)在中,分别是A、B、C的对边,若的面积为,求的值。

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1

16. 在一个选拔项目中,每个选手都需要进行4轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为,且各轮问题能否正确回答互不影响.

(Ⅰ)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;

(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率;

(Ⅲ)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为,求随机变量的分布列和期望.

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1

17.如图,三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3,D为AC的中点.

(Ⅰ)求证:AB1//面BDC1

(Ⅱ)求二面角C1—BD—C的余弦值;

(Ⅲ)在侧棱AA1上是否存在点P,使得CP⊥面BDC1?并证明你的结论.

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1

18.设R,函数

(Ⅰ)若函数在点(0,)处的切线方程为,求a的值;

(Ⅱ)当时,讨论函数的单调性.

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1

19.设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,离心率为,在轴的负半轴上有一点,且

(Ⅰ)若过三点的圆恰好与直线相切,求椭圆的方程;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点,在轴上是否存在点,0),使得以为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出的取值范围;如果不存在,说明理由.

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1

20.对于数集,其中,定义向量集. 若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P. 例如具有性质P

(Ⅰ)若,且具有性质P,求x的值;

(Ⅱ)若X具有性质P,求证:1X,且当时,

(Ⅲ)若X具有性质P,且(q为常数),求有穷数列的通项公式。

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