数学东城区2013年高三试卷

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单选题
填空题
简答题

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷

单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1．已知复数，则等于（）

D-2

正确答案

解析

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知识点

虚数单位i及其性质

题型：单选题

分值: 5分

2．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）

正确答案

解析

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知识点

算法的概念

题型：单选题

分值: 5分

4．已知三条不重合的直线m、n、l与两个不重合的平面α、β，有下列命题：

①若m∥n，n⊂α，则m∥α；

②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；

③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．

其中正确的命题个数是（　　）

正确答案

解析

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知识点

四种命题及真假判断

题型：单选题

分值: 5分

7．已知不等式组，表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则的取值范围是（）

正确答案

解析

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知识点

不等式的性质

题型：单选题

分值: 5分

8．△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠CPB，则点P在平面α内的轨迹是（）

A圆的一部分

B椭圆的一部分

C双曲线的一部分

D抛物线的一部分

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：单选题

分值: 5分

6．已知抛物线（）的焦点恰好是双曲线的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点，则该双曲线的离心率为（）

正确答案

解析

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

3．已知非零向量，，满足0，向量，的夹角为，且，则向量与的夹角为（）

正确答案

解析

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

正确答案

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知识点

空间几何体的结构特征

填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

10．如图，圆的弦ED，CB的延长线交于点A．若BDAE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________；CE＝___________．

正确答案

5；

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：填空题

分值: 5分

13．已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为____________．

正确答案

解析

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知识点

随机事件的关系

题型：填空题

分值: 5分

9．若的展开式中的常数项为，则实数________．

正确答案

－1

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 5分

11．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，……，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．根据此频率分布直方图，可知重量超过500克的产品共有________件．

正确答案

解析

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知识点

频率分布直方图

题型：填空题

分值: 5分

12．有2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为____．

正确答案

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：填空题

分值: 5分

14．已知是等比数列，，，是等差数列，，其前项和满足．在数列中任取一项，在数列中任取一项，记“点位于以原点为圆心，9为半径的圆的内部”为事件．

（Ⅰ）若，则＝________；

（Ⅱ）若，则整数的最小值为______．

正确答案

； 11

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知识点

由数列的前几项求通项

简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 13分

15．已知函数．

（Ⅰ）求的最小正周期和单调区间；

（Ⅱ）在中，、、分别是A、B、C的对边，若，，的面积为，求的值。

正确答案

（Ⅰ）

由，，得.

所以函数的单调递增区间为[]，

函数的单调递减区间为[]，

（Ⅱ）由，，

又的内角，，

，

，，，

，

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

分值: 13分

16．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．

（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；

（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为，求随机变量的分布列和期望．

正确答案

设事件（）表示“该选手能正确回答第轮问题”，

由已知，，，，

（Ⅰ）设事件表示“该选手进入第三轮被淘汰”，

则

（Ⅱ）设事件表示“该选手至多进入第三轮考核”，

则

（III）的可能取值为

，

所以，的分布列为

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知识点

随机事件的关系

题型：简答题

分值: 14分

18．设R，函数．

（Ⅰ）若函数在点（0，）处的切线方程为，求a的值；

（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性．

正确答案

（Ⅰ）.

（Ⅱ）答案略

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知识点

函数的概念及其构成要素

题型：简答题

分值: 14分

17．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点．

（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；

（Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值；

（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．

正确答案

（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD

∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点.又D是AC的中点，

∴OD//AB1.∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1

（II）解：如力，建立空间直角坐标系，则

C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）

设=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则

，即，取

易知=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.

∴二面角C1—BD—C的余弦值为

（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.

则

∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1

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知识点

任意角的概念

题型：简答题

分值: 13分

19．设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，在轴的负半轴上有一点，且．

（Ⅰ）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点（，0），使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．

正确答案

（Ⅰ）由题意得，所以.

又,于，所以为的中点，

所以,

所以的外接圆圆心为，半径

又过三点的圆与直线相切，

,解得，.

故所求椭圆方程为

（Ⅱ）由（）知,设的方程为：，

椭圆联立方程得，即.

设交点为，因为，

则

若存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，

由于菱形对角线垂直，所以.

，

又的方向向量是，故，

，即，

由已知条件知，

，故存在满足题意的点且的取值范围是

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

分值: 13分

20．对于数集，其中，，定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如具有性质P．

（Ⅰ）若，且具有性质P，求x的值；

（Ⅱ）若X具有性质P，求证：1X，且当时，；

（Ⅲ）若X具有性质P，且，（q为常数），求有穷数列的通项公式。

正确答案

（Ⅰ）选取，Y中与垂直的元素必有形式（b，-1）.

所以x=2b，从而x=4.

（Ⅱ）证明：取.设满足.

由得，所以、异号.

因为-1是X中唯一的负数，

所以、中之一为-1，另一为1，

故1X.

假设，其中，则.

选取，并设满足，即，

则、异号，从而、之中恰有一个为-1.

若=-1，则2，矛盾；

若=-1，则，矛盾.

所以x1=1.

（Ⅲ）[解法一]猜测，i=1, 2, …, n.

记，k=2, 3, …, n.

先证明：若具有性质P，则也具有性质P.

任取，、.当、中出现-1时，显然有满足；

当且时，、≥1.

因为具有性质P，所以有，、·，使得，

从而和中有一个是-1，不妨设=-1.

假设且不，

则.由，

得，与·矛盾.所以·.从而也具有性质P.

现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, n.

当n=2时，结论显然成立；

假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, …, k；

当n=k+1时，若有性质P，则

也有性质P，所以.

取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.

若，则1，不可能；

所以，，又，所以.

综上所述，，i=1, 2, …, n.

[解法二]设，，则等价于.

记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于

原点对称.

注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数，

所以也只有n-1个数.

由于，已有n-1个数，对以下三角数阵

……

注意到，所以，从而数列的通项公式为

，k=1, 2, …, n.

解析

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知识点

不等式的性质

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