数学 东城区2012年高三试卷
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.为非零向量,“函数 为偶函数”是“”的(    )

A充分但不必要条件

B必要但不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

C

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

充要条件的判定
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.已知是由正数组成的等比数列,表示的前项的和.若,则的值是(    )

A511

B1023

C1533

D3069

正确答案

D

解析

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知识点

随机数的含义与应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.已知非零向量满足0,向量的夹角为,且,则向量的夹角为(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

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知识点

导数的加法与减法法则
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.若函数满足条件:当时,有成立,则称.对于函数,有(      )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

简单复合函数的导数
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.已知集合,则 (    )

A

B

C

DR

正确答案

B

解析

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知识点

简单复合函数的导数
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.已知函数的部分图象如图所示,则点P的坐标为(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

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知识点

简单复合函数的导数
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.若下边的程序框图输出的,则条件①可为(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

二次函数的应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.如图,双曲线的中心在坐标原点 分别是双曲线虚轴的上、下顶点,是双曲线的左顶点,为双曲线的左焦点,直线相交于点.若双曲线的离心率为2,则的余弦值是(    )

A

B

C

D

正确答案

C

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知识点

二次函数的应用
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.设为非空数集,若,都有,则称为封闭集.下列命题

①实数集是封闭集;

②全体虚数组成的集合是封闭集;

③封闭集一定是无限集;

④若为封闭集,则一定有

⑤若为封闭集,且满足,则集合也是封闭集,

其中真命题是(        ).

正确答案

①,④

解析

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知识点

对数函数的定义
1
题型:填空题
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分值: 5分

13. 如下图,在圆内接四边形中, 对角线相交于点.已知,则 (       ),的长是(        ).

正确答案

30;6

解析

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知识点

指数函数的单调性与特殊点
1
题型:填空题
|
分值: 5分

12. 设,则 (      );(       )

正确答案

7;6

解析

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知识点

幂函数图象及其与指数的关系
1
题型:填空题
|
分值: 5分

10. 的展开式中常数项是(     );

正确答案

-160

解析

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知识点

二次函数的应用
1
题型:填空题
|
分值: 5分

9.若复数是纯虚数,则实数等于(        );

正确答案

1

解析

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知识点

圆系方程
1
题型:填空题
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分值: 5分

11 已知曲线的参数方程为为参数),则曲线上的点到直线的距离的最大值为(        )

正确答案

3

解析

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 13分

15. 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2-a2=bc.

(Ⅰ)求角A的大小;

(Ⅱ)设函数,当取最大值时,判断△ABC的形状;

(Ⅲ)求函数的最小正周期和最大值及最小值.

正确答案

(Ⅰ)在△ABC中,因为b2+c2-a2=bc,

由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA  可得cosA=

∵ 0<A<π ,

.                      

(Ⅱ)(Ⅲ)

         

,                                      

  ∴

    (没讨论,扣1分)                

∴当,即时,有最大值是. 

又∵,       ∴

∴△ABC为等边三角形.

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知识点

指数函数的单调性与特殊点
1
题型:简答题
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分值: 13分

17. 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.

(Ⅰ)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率;

(Ⅱ)求的值;

(Ⅲ)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为,求的分布列和数学期望.

正确答案

解:记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件

依题意有相互独立.

(Ⅰ)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

.                         

(Ⅱ)设“三人中只有甲破译出密码”为事件,则有

,         

所以.                             

(Ⅲ)的所有可能取值为.                      

所以

= .      

分布列为:

所以,.      

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知识点

直线和圆的方程的应用
1
题型:简答题
|
分值: 14分

18. 已知函数.

(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线垂直,求函数的单调区间;

(Ⅱ)若对于都有成立,试求的取值范围;

(Ⅲ)记.当时,函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.

正确答案

(I)直线的斜率为1.

函数的定义域为

因为,所以,所以.

所以. .

解得;由解得.

所以的单调增区间是,单调减区间是.  

(II)

解得;由解得.

所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.

所以当时,函数取得最小值,.

因为对于都有成立,

所以即可.

. 由解得.

所以的取值范围是.   

(III)依题得,则.

解得;由解得.

所以函数在区间为减函数,在区间为增函数.

又因为函数在区间上有两个零点,所以

解得.

所以的取值范围是.      

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知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型:简答题
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分值: 13分

19. 已知椭圆的离心率为,且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于两点,线段的垂直平分线与轴相交于点

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)求的取值范围;

(Ⅲ)试用表示△的面积,并求面积的最大值.

正确答案

(Ⅰ)依题意可得,

,可得.所以椭圆方程为

(Ⅱ)设直线的方程为

可得

,则

可得

设线段中点为,则点的坐标为

由题意有,可得

可得,又,所以

(Ⅲ)设椭圆上焦点为

    

,可得.所以

,所以.

所以△的面积为).

,则

可知在区间单调递增,在区间单调递减.

所以,当时,有最大值

所以,当时,△的面积有最大值

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知识点

导数的加法与减法法则
1
题型:简答题
|
分值: 14分

20. 将个数随机排成一列,得到的一列数称为的一个排列.

定义为排列的波动强度.

(Ⅰ)当时,写出排列的所有可能情况及所对应的波动强度;

(Ⅱ)当时,求的最大值,并指出所对应的一个排列;

(Ⅲ)当时,在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整,若要求每次调整时波动强度不增加,问对任意排列,是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9;若可以,给出调整方案,若不可以,请给出反例并加以说明.

正确答案

(Ⅰ)时,排列的所有可能为

.      

(Ⅱ)

上式转化为

在上述中,有个选正号,个选负号,其中出现一次,各出现两次.   

所以可以表示为个数的和减去个数的和的形式,

若使最大,应使第一个和最大,第二个和最小.

所以最大为:

.   

所对应的一个排列为:.(其他正确的排列同等给分)

(Ⅲ)不可以.

例如排列,除调整外,其它调整都将使波动强度增加,调整波动强度不变.                                                                                                 

所以只能将排列调整为排列.

对于排列,仍然是除调整外,其它调整都将使波动强度增加,所以仍只能调整两个数字.

如此不断循环下去,不可能经过有限次调整使其波动强度降为.  

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知识点

导数的运算
1
题型:简答题
|
分值: 13分

16. 如图, 是边长为的正方形,平面与平面所成角为.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求二面角的余弦值;

(Ⅲ)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,并证明你的结论.

正确答案

(Ⅰ)证明: 因为平面

所以.         

因为是正方形,

所以

从而平面.     

(Ⅱ)解:因为两两垂直,

所以建立空间直角坐标系如图所示.

因为与平面所成角为,即,         

所以.

可知.               

所以,           

设平面的法向量为,则,即

,则.      

因为平面,所以为平面的法向量,

所以.     

因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.   

(Ⅲ)解:点是线段上一个动点,设.

因为平面

所以,               

,解得.           

此时,点坐标为,符合题意.

解析

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知识点

线面角和二面角的求法

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