2017年高考真题 数学 (江苏卷)
精品
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前去估分
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取   ▲   件.

正确答案

18

解析

应从丙种型号的产品中抽取件,故答案为18.

考查方向

分层抽样

解题思路

根据分层抽样的特点,求解答案

易错点

相关概念掌握混淆

1
题型:填空题
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分值: 5分

7.记函数的定义域为.在区间上随机取一个数,则的概率是   ▲  

正确答案

解析

,得,根据几何概型的概率计算公式得的概率为

考查方向

函数与几何概型的综合

解题思路

先求出函数的定义域,根据几何概型的计算公式计算

易错点

对几何概型的概念掌握混淆

1
题型:填空题
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分值: 5分

8.在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,其焦点是,则四边形的面积是   ▲  

正确答案

解析

右准线方程为,渐近线方程为,设,则,则

考查方向

双曲线的几何性质(准线\焦点\渐近线)

解题思路

先求出右准线的方程,然后求出渐近线的方程,然后求解四边形的面积

易错点

计算能力弱

1
题型:填空题
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分值: 5分

10.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则的值是   ▲  

正确答案

30

解析

总费用为,当且仅当,即时等号成立.

考查方向

应用均值不等式解决实际问题

解题思路

根据实际问题的背景,整理化简成平均值不等式形式,然后利用不等式的性质求解答案

易错点

想不到利用平均值不等式求解答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

2.已知复数,其中i是虚数单位,则的模是   ▲  

正确答案

解析

,故答案为

考查方向

复数的四则运算 复数的模

解题思路

按照服输的化简法则,逐步化简

易错点

计算错误

1
题型:填空题
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分值: 5分

1.已知集合,若,则实数的值为   ▲  

正确答案

1

解析

由题意,显然,所以,此时,满足题意,故答案为1.

考查方向

集合的基本运算

解题思路

先求出两个集合,然后根据集合的交集运算求解

易错点

求交集错误

1
题型:填空题
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分值: 5分

4.右图是一个算法流程图,若输入的值为,则输出的值是   ▲  

正确答案

解析

由题意得,故答案为

考查方向

条件分支结构

解题思路

根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦满足条件就退出循环,输出结果.

易错点

循环结构的控制条件

1
题型:填空题
|
分值: 5分

5.若   ▲  

正确答案

解析

.故答案为

考查方向

两角和与差的正切函数

解题思路

根据同角的三角函数的性质,求解答案

易错点

相关性质定理掌握不牢固

1
题型:填空题
|
分值: 5分

6.如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是   ▲  

正确答案

解析

设球半径为,则.故答案为

考查方向

圆柱与球的位置关系\体积的计算

解题思路

根据球和圆柱的关系,求解体积的比值

易错点

空间立体感不强

1
题型:填空题
|
分值: 5分

9.等比数列的各项均为实数,其前项和为,已知,则=  ▲ 

正确答案

32

解析

时,显然不符合题意;

,解得,则

考查方向

等比数列的前n项和与通项公式

解题思路

两种情况,求出数列的通项,然后求出第八项

易错点

分情况讨论q的值

1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.设是定义在上且周期为1的函数,在区间上,其中集合,则方程的解的个数是   ▲  

正确答案

8

解析

由于,则需考虑的情况,

在此范围内,时,设,且互质,

,则由,可设,且互质,

因此,则,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,因此

因此不可能与每个周期内对应的部分相等,

只需考虑与每个周期的部分的交点,

画出函数图象,图中交点除外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期的部分,

,则在附近仅有一个交点,

因此方程的解的个数为8.

考查方向

分段函数、对数函数与方程

解题思路

根据周期函数的性质,结合函数图形,然后判断交点的个数

易错点

数形结合能力弱

1
题型:填空题
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分值: 5分

11.已知函数,其中e是自然对数的底数.若,则实数的取值范围是   ▲  

正确答案

解析

因为,所以函数是奇函数,

因为,所以数上单调递增,

,即,所以,即

解得,故实数的取值范围为

考查方向

函数的奇偶性、单调性与不等式的解法的综合应用

解题思路

根据函数的奇偶性和单调性判断函数的取值范围

易错点

计算化简过程中出现错误

1
题型:填空题
|
分值: 5分

12.如图,在同一个平面内,向量的模分别为1,1,的夹角为,且=7,的夹角为45°.若,则   ▲  

正确答案

3

解析

可得,根据向量的分解,

易得,即,即,即得

所以

考查方向

平面向量基本定理、向量的线性运算性质及几何意义/平面向量坐标表示的应用

解题思路

根据向量的性质,分别求出角度的正弦值和余弦值,然后利用向量的分解方式求解答案

易错点

考虑不到利用向量的分解方法求解。

1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.在平面直角坐标系中,在圆上,若则点的横坐标的取值范围是   ▲  

正确答案

解析

,由,易得,由,可得,由得P点在圆弧AB上,结合限制条件,可得P点横坐标的取值范围为

考查方向

平面向量基本定理、向量的线性运算性质及几何意义/平面向量坐标表示的应用

解题思路

利用数形结合方法,根据题中所给的限制条件,求解P点横坐标的取值范围

易错点

数形结合能力差

简答题(综合题) 本大题共150分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 14分

15.(本小题满分14分)

如图,在三棱锥A-BCD中,ABADBCBD,平面ABD⊥平面BCD,点EF(EAD不重合)分别在棱ADBD上,且EFAD

求证:(1)EF∥平面ABC

(2)ADAC

正确答案

详见解析

解析

(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF//AB

又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF//平面ABC

(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BC⊥BD;

所以BC⊥平面ABD

因为AD平面ABD,所以BC⊥AD

又AB⊥AD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD⊥平面ABC,又因为

AC平面ABC,所以AD⊥AC

考查方向

直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定与性质

解题思路

(1)由线线平行,推出线面平行,再推出线线平行,(2)由面面垂直推出线面垂直,再推出线线垂直

易错点

线面平行的判定定理;面面垂直推出线面垂直

1
题型:简答题
|
分值: 14分

16.(本小题满分14分)

已知向量

(1)若ab,求x的值;

(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值.

正确答案

详见解析

解析

(1)因为//,所以

,则,与矛盾,

于是,所以

(2)

因为,所以,从而

于是,当,即时,取到最大值3;

,即时,取到最小值

考查方向

向量的数量积与三角函数的恒等变形及复合型三角函数的性质

解题思路

(1)根据向量平行,得到等量关系,进而求的值(2)化简,根据三角函数的性质求得

易错点

相关性质定义掌握不牢固

1
题型:简答题
|
分值: 14分

17.(本小题满分14分)

如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.

正确答案

详见解析

解析

(1)设椭圆的半焦距为c

因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以

解得,于是,因此椭圆E的标准方程是

(2)由(1)知,

,因为为第一象限的点,故

时,相交于,与题设不符.

时,直线的斜率为,直线的斜率为

因为,所以直线的斜率为,直线的斜率为

从而直线的方程:

直线的方程:

由①②,解得,所以

因为点在椭圆上,由对称性,得,即

在椭圆E上,故

,解得,无解.

因此点P的坐标为

考查方向

直线与椭圆的位置关系

解题思路

(1)设出方程,根据题目所提供的坐标关系,求出椭圆方程中的待定系数,得出椭圆方程

(2)利用椭圆的对称性,建立等量关系,根据方程的解求出P点的坐标

易错点

计算能力弱

1
题型:简答题
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分值: 16分

18.(本小题满分16分)

如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)

(1)将放在容器Ⅰ中,的一端置于点A处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度;

(2)将放在容器Ⅱ中,的一端置于点E处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度.

正确答案

详见解析

解析

(1)由正棱柱的定义,平面,所以平面平面

记玻璃棒的另一端落在上点处.

因为,所以,从而

与水面的交点为,过P1Q1ACQ1为垂足,

P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=

答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)

                     

(2)如图,O,是正棱台的两地面中心

由正棱台的定义,平面EFGH,所以平面平面EFGH,

同理,平面平面,

记玻璃棒的另一端落在上点N处。

GGKE1G1K为垂足,则GK =OO1=32.

因为EG = 14,E1G1= 62,

所以KG1=,从而

因为,所以

中,由正弦定理可得,解得

因为,所以

于是

EN与水面的交点为P2,过P2P2Q2EGQ2为垂足,则P2Q2⊥平面EFGH

P2Q2=12,从而EP2=

答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)

考查方向

几何元素的位置关系、空间几何体的体积

解题思路

(1)根据正棱柱的性质,求出相关线段的长(2)利用正弦定理求相关线段的长

易错点

立体感不强;计算能力弱;相关性质概念混淆

1
题型:简答题
|
分值: 16分

20.(本小题满分16分)

已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

(1)求关于的函数关系式,并写出定义域;

(2)证明:

(3)若这两个函数的所有极值之和不小于,求的取值范围.

正确答案

详见解析

解析

|(1)由,得

时,有极小值

因为的极值点是的零点

所以,又,故

因为有极值,故有实根,从而,即

时,,故R上是增函数,没有极值;

时,有两个相异的实根

列表如下:

的极值点是.从而.因此,定义域为

(2)由(1)知,.设,则

时,,从而上单调递增.

因为,所以,故,即.因此

(3)由(1)知,的极值点是,且

从而

=

所有极值之和为

因为的极值为,所以

因为,于是上单调递减.

因为,于是,故.因此a的取值范围为

考查方向

函数的导数、极值、函数与不等式

易错点

求导函数时错误,判断单调性时有重漏

1
题型:简答题
|
分值: 16分

19.(本小题满分16分)

对于给定的正整数,若数列满足:对任意正整数总成立,则称数列是“数列”.

(1)证明:等差数列是“数列”;

(2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列.

正确答案

详见解析

解析

(1)因为是等差数列,设其公差为,则

从而,当时,

所以

因此等差数列是“数列”.

(2)数列既是“数列”,又是“数列”,因此,

时,

时,

由①知,

,④

将③④代入②,得,其中

所以是等差数列,设其公差为

在①中,取,则,所以

在①中,取,则,所以

所以数列是等差数列.

考查方向

等差数列的判定与性质

解题思路

(1)根据所给条件,判断其为等差数列(2)根据所给条件,化简求解,判断其为邓婵数列

易错点

对等差数列的性质掌握不牢固

1
题型:简答题
|
分值: 10分

21.附加题【选做题】本题包括四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)

已知矩阵

(1)求

(2)若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线,求的方程.

正确答案

详见解析

解析

(1)因为,,所以

(2)为曲线上任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为

,即,因为在曲线上,所以,即,因此曲线在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线

考查方向

矩阵的乘法;矩阵变换

解题思路

(1)根据矩阵的乘法计算法则计算求得(2)利用矩阵AB变换的性质,得到变换后的曲线方程

易错点

对矩阵的运算掌握不好

1
题型:简答题
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分值: 10分

21. 附加题【选做题】本题包括四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)

已知为实数,且证明:

正确答案

详见解析

解析

由柯西不等式可得

因为,所以,因为

考查方向

不等式证明

解题思路

由柯西不等式可得

因为,所以,因为

易错点

均值不等式的取等条件

1
题型:简答题
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分值: 10分

23. 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(本小题满分10分)

已知一个口袋中有个白球,个黑球(),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为的抽屉内,其中第次取出的球放入编号为的抽屉

(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率

(2)随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,的数学期望,证明:

正确答案

详见解析

解析

(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为:

(2)随机变量X的概率分布为

随机变量X的期望为

所以

考查方向

离散型随机变量的分布列及其数学期望

解题思路

(1)根据事件发生的概率,计算求得;(2)列出随机事件发生的分布列,利用二项式定理求得

易错点

计算化简能力弱

1
题型:简答题
|
分值: 10分

21.附加题【选做题】本题包括四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)

如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点CAPPCP为垂足.

求证:(1)

(2)

正确答案

详见解析

解析

(1)因为切半圆O于点C,所以

因为为半圆O的直径,所以

因为APPC,所以,所以

(2)由(1)知,,故,即

考查方向

圆的性质及圆幂定理

解题思路

(1)根据切线的性质及圆周角的性质证明结论;(2)先判定两个三角形相似,然后利用相似三角形对应边成比例求解答案

易错点

相关性质定理记忆混淆

1
题型:简答题
|
分值: 10分

21. 附加题【选做题】本题包括四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在平面直角坐标系中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为

(为参数).设为曲线上的动点,求点到直线的距离的最小值.

正确答案

详见解析

解析

直线的普通方程为.因为点在曲线上,设

从而点到直线的的距离,当时,

因此当点的坐标为时,曲线上点到直线的距离取到最小值

考查方向

参数方程

解题思路

先化成普通方程,然后利用点到直线的距离公式,求出最小值

易错点

直角坐标与极坐标的相互转化

1
题型:简答题
|
分值: 10分

22【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(本小题满分10分)

如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=

(1)求异面直线A1BAC1所成角的余弦值;

(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.

正确答案

详见解析

解析

在平面ABCD内,过点AAEAD,交BC于点E

因为AA1平面ABCD,所以AA1AEAA1AD

如图,以为正交基底,建立空间直角坐标系A-xyz

因为AB=AD=2,AA1=

(1)

因此异面直线A1BAC1所成角的余弦值为

(2)平面的一个法向量为,设为平面的一个法向量,

,,则,即

不妨取,则,所以为平面的一个法向量

从而

设二面角B-A1D-A的大小为,则

因为,所以.因此二面角B-A1D-A的正弦值为

考查方向

异面直线所成的角与二面角的求法

解题思路

(1)建立空间直角坐标系,然后计算求出异面直线所成的角(2)建立空间直角坐标系,然后计算求出异面直线所成的角

易错点

计算能力弱

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