2017年高考真题数学 (江苏卷)

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试卷目录

1、填空题

2、简答题

真题试卷
模拟试卷

填空题本大题共14小题，每小题5分，共70分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件．

正确答案

解析

应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18．

考查方向

分层抽样

解题思路

根据分层抽样的特点，求解答案

易错点

正确答案

解析

由，得，根据几何概型的概率计算公式得的概率为

考查方向

函数与几何概型的综合

解题思路

先求出函数的定义域，根据几何概型的计算公式计算

易错点

对几何概型的概念掌握混淆

题型：填空题

分值: 5分

8．在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，则四边形的面积是 ▲ ．

正确答案

解析

右准线方程为，渐近线方程为，设，则，，，则．

考查方向

双曲线的几何性质(准线\焦点\渐近线)

解题思路

先求出右准线的方程，然后求出渐近线的方程，然后求解四边形的面积

易错点

计算能力弱

题型：填空题

分值: 5分

10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ▲ ．

正确答案

解析

总费用为，当且仅当，即时等号成立．

考查方向

应用均值不等式解决实际问题

解题思路

根据实际问题的背景，整理化简成平均值不等式形式，然后利用不等式的性质求解答案

易错点

想不到利用平均值不等式求解答案

题型：填空题

分值: 5分

2．已知复数，其中i是虚数单位，则的模是 ▲ ．

正确答案

解析

，故答案为．

考查方向

复数的四则运算复数的模

解题思路

按照服输的化简法则，逐步化简

易错点

计算错误

题型：填空题

分值: 5分

1．已知集合，，若，则实数的值为 ▲ ．

正确答案

解析

由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．

考查方向

集合的基本运算

解题思路

先求出两个集合，然后根据集合的交集运算求解

易错点

求交集错误

题型：填空题

分值: 5分

4．右图是一个算法流程图，若输入的值为，则输出的值是 ▲ ．

正确答案

解析

由题意得，故答案为．

考查方向

条件分支结构

解题思路

根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果．

易错点

循环结构的控制条件

题型：填空题

分值: 5分

5．若则 ▲ ．

正确答案

解析

．故答案为．

考查方向

两角和与差的正切函数

解题思路

根据同角的三角函数的性质，求解答案

易错点

正确答案

解析

设球半径为，则．故答案为．

考查方向

圆柱与球的位置关系\体积的计算

解题思路

根据球和圆柱的关系，求解体积的比值

易错点

空间立体感不强

题型：填空题

分值: 5分

9．等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则= ▲ ．

正确答案

解析

当时，显然不符合题意；

当时，解得，则

考查方向

等比数列的前n项和与通项公式

解题思路

分和两种情况，求出数列的通项，然后求出第八项

易错点

分情况讨论q的值

题型：填空题

分值: 5分

14．设是定义在上且周期为1的函数，在区间上，其中集合，，则方程的解的个数是 ▲ ．

正确答案

解析

由于，则需考虑的情况，

在此范围内，且时，设，且互质，

若，则由，可设，且互质，

因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，

因此不可能与每个周期内对应的部分相等，

只需考虑与每个周期的部分的交点，

画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，

且处，则在附近仅有一个交点，

因此方程的解的个数为8．

考查方向

分段函数、对数函数与方程

解题思路

根据周期函数的性质，结合函数图形，然后判断交点的个数

易错点

数形结合能力弱

题型：填空题

分值: 5分

11．已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ▲ ．

正确答案

解析

因为，所以函数是奇函数，

因为，所以数在上单调递增，

又，即，所以，即，

解得，故实数的取值范围为．

考查方向

函数的奇偶性、单调性与不等式的解法的综合应用

解题思路

根据函数的奇偶性和单调性判断函数的取值范围

易错点

计算化简过程中出现错误

题型：填空题

分值: 5分

12．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则 ▲ ．

正确答案

解析

由可得，，根据向量的分解，

易得，即，即，即得，

所以．

考查方向

平面向量基本定理、向量的线性运算性质及几何意义/平面向量坐标表示的应用

解题思路

根据向量的性质，分别求出角度的正弦值和余弦值，然后利用向量的分解方式求解答案

易错点

考虑不到利用向量的分解方法求解。

题型：填空题

分值: 5分

13．在平面直角坐标系中，点在圆上，若则点的横坐标的取值范围是 ▲ ．

正确答案

解析

设，由,易得，由，可得或，由得P点在圆弧AB上，结合限制条件，可得P点横坐标的取值范围为

考查方向

平面向量基本定理、向量的线性运算性质及几何意义/平面向量坐标表示的应用

解题思路

利用数形结合方法，根据题中所给的限制条件，求解P点横坐标的取值范围

易错点

数形结合能力差

简答题（综合题）本大题共150分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 14分

15．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC．

正确答案

详见解析

解析

（1）在平面ABD内，因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF//AB

又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF//平面ABC

(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BC⊥BD;

所以BC⊥平面ABD

因为AD平面ABD,所以BC⊥AD

又AB⊥AD,BCAB=B,AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥平面ABC,又因为

AC平面ABC,所以AD⊥AC

考查方向

直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定与性质

解题思路

（1）由线线平行，推出线面平行，再推出线线平行，（2）由面面垂直推出线面垂直，再推出线线垂直

易错点

线面平行的判定定理；面面垂直推出线面垂直

题型：简答题

分值: 14分

16．（本小题满分14分）

已知向量

（1）若a∥b，求x的值；

（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．

正确答案

详见解析

解析

（1）因为，//,所以

若，则，与矛盾，故

于是，所以

（2）．

因为，所以，从而．

于是，当，即时，取到最大值3；

当，即时，取到最小值．

考查方向

向量的数量积与三角函数的恒等变形及复合型三角函数的性质

解题思路

（1）根据向量平行，得到等量关系，进而求的值（2）化简,根据三角函数的性质求得

易错点

正确答案

详见解析

解析

（1）设椭圆的半焦距为c．

因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，

解得，于是，因此椭圆E的标准方程是．

（2）由（1）知，，．

设，因为为第一象限的点，故．

当时，与相交于，与题设不符．

当时，直线的斜率为，直线的斜率为

因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，

从而直线的方程: ①

直线的方程：②

由①②，解得，所以．

因为点在椭圆上，由对称性，得，即或．

又在椭圆E上，故．

由，解得；，无解．

因此点P的坐标为．

考查方向

直线与椭圆的位置关系

解题思路

（1）设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出椭圆方程中的待定系数，得出椭圆方程

（2）利用椭圆的对称性，建立等量关系，根据方程的解求出P点的坐标

易错点

计算能力弱

题型：简答题

分值: 16分

18．（本小题满分16分）

如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；

（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．

正确答案

详见解析

解析

（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，．

记玻璃棒的另一端落在上点处．

因为，所以，从而，

记与水面的交点为，过作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，

则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，从而AP1=．

答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)

（2）如图，O,是正棱台的两地面中心

由正棱台的定义，平面EFGH,所以平面平面EFGH,

同理，平面平面,

记玻璃棒的另一端落在上点N处。

过G作GK⊥E1G1，K为垂足，则GK =OO1=32．

因为EG = 14，E1G1= 62，

所以KG1=，从而．

设则．

因为，所以．

在中，由正弦定理可得，解得．

因为，所以．

于是．

记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，

故P2Q2=12，从而EP2=．

答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)

考查方向

几何元素的位置关系、空间几何体的体积

解题思路

（1）根据正棱柱的性质，求出相关线段的长（2）利用正弦定理求相关线段的长

易错点

立体感不强；计算能力弱；相关性质概念混淆

题型：简答题

分值: 16分

20．（本小题满分16分）

已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：；

（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．

正确答案

详见解析

解析

|（1）由，得

当时，有极小值

因为的极值点是的零点

所以，又，故

因为有极值，故有实根，从而，即

当时，，故在R上是增函数，没有极值；

当时，有两个相异的实根，．

列表如下：

故的极值点是．从而．因此，定义域为．

（2）由（1）知，．设，则．

当时，，从而在上单调递增．

因为，所以，故，即．因此．

（3）由（1）知，的极值点是，且，

从而

记，所有极值之和为，

因为的极值为，所以，．

因为，于是在上单调递减．

因为，于是，故．因此a的取值范围为．

考查方向

函数的导数、极值、函数与不等式

易错点

求导函数时错误，判断单调性时有重漏

题型：简答题

分值: 16分

19．（本小题满分16分）

对于给定的正整数，若数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．

（1）证明：等差数列是“数列”；

（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．

正确答案

详见解析

解析

（1）因为是等差数列，设其公差为，则，

从而，当时，

，

所以，

因此等差数列是“数列”．

（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，

当时，①

当时，②

由①知，③

，④

将③④代入②，得，其中，

所以是等差数列，设其公差为．

在①中，取，则，所以，

所以数列是等差数列．

考查方向

等差数列的判定与性质

解题思路

（1）根据所给条件，判断其为等差数列（2）根据所给条件，化简求解，判断其为邓婵数列

易错点

对等差数列的性质掌握不牢固

题型：简答题

分值: 10分

21.附加题【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

B．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)

已知矩阵

（1）求；

（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程．

正确答案

详见解析

解析

（1）因为,,所以

（2）为曲线上任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为，

则，即，因为在曲线上，所以，即，因此曲线在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线：

考查方向

矩阵的乘法；矩阵变换

解题思路

（1）根据矩阵的乘法计算法则计算求得（2）利用矩阵AB变换的性质，得到变换后的曲线方程

易错点

对矩阵的运算掌握不好

题型：简答题

分值: 10分

21. 附加题【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

D．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）

已知为实数，且证明：

正确答案

详见解析

解析

由柯西不等式可得，

因为，，所以，因为

考查方向

不等式证明

解题思路

由柯西不等式可得，

因为，，所以，因为

易错点

均值不等式的取等条件

题型：简答题

分值: 10分

23. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本小题满分10分）

已知一个口袋中有个白球，个黑球()，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉．

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率；

（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明：．

正确答案

详见解析

解析

（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为：．

（2）随机变量X的概率分布为

随机变量X的期望为．

所以

，

即．

考查方向

离散型随机变量的分布列及其数学期望

解题思路

（1）根据事件发生的概率，计算求得；（2）列出随机事件发生的分布列，利用二项式定理求得

易错点

计算化简能力弱

题型：简答题

分值: 10分

21．附加题【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)

如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．

求证：（1）；

（2）．

正确答案

详见解析

解析

（1）因为切半圆O于点C，所以，

因为为半圆O的直径，所以．

因为AP⊥PC，所以，所以．

（2）由（1）知，，故，即．

考查方向

圆的性质及圆幂定理

解题思路

（1）根据切线的性质及圆周角的性质证明结论；（2）先判定两个三角形相似，然后利用相似三角形对应边成比例求解答案

易错点

正确答案

详见解析

解析

直线的普通方程为．因为点在曲线上，设，

从而点到直线的的距离，当时，．

因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值．

考查方向

参数方程

解题思路

先化成普通方程，然后利用点到直线的距离公式，求出最小值

易错点

直角坐标与极坐标的相互转化

题型：简答题

分值: 10分

22【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本小题满分10分）

如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，．

（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

（2）求二面角B-A1D-A的正弦值．

正确答案

详见解析

解析

在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E．

因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD．

如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz．

因为AB=AD=2，AA1=，．

则．

（1），

则．

因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为．

（2）平面的一个法向量为,设为平面的一个法向量，

,,则,即

不妨取,则，，所以为平面的一个法向量

从而

设二面角B-A1D-A的大小为，则．

因为，所以．因此二面角B-A1D-A的正弦值为．

考查方向

异面直线所成的角与二面角的求法

解题思路

（1）建立空间直角坐标系，然后计算求出异面直线所成的角（2）建立空间直角坐标系，然后计算求出异面直线所成的角

易错点

计算能力弱

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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解题思路

易错点

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易错点

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易错点

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易错点

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正确答案

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