2017年高考真题 数学 (浙江卷)
精品
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前去估分
单选题 本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 4分

6.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的(         )

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

C

解析

,所以为充要条件,选C.

考查方向

(1)等差数列;(2)充要条件的判断

解题思路

等差数列中,直接判断出结果

易错点

充要条件的判断

1
题型: 单选题
|
分值: 4分

1.已知集合,那么 (        )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

所有元素,得.

考查方向

并集的运算

解题思路

直接利用并集定义进行计算即可

易错点

并集定义的合理运用

1
题型: 单选题
|
分值: 4分

2.椭圆的离心率是(       )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

,选B.

考查方向

椭圆的几何性质

解题思路

由椭圆定义直接求出代入离心率公式

易错点

椭圆中的关系及离心率

1
题型: 单选题
|
分值: 4分

3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是(       )

A+1

B+3

C+1

D+3

正确答案

A

解析

.选A.

考查方向

由三视图求几何体的体积

解题思路

几何体是三棱锥与半圆锥的组合体,根据三视图判断三棱锥的高及底面三角形的相关几何量的数据,判断半圆锥的高及底面半径,把数据代入三棱锥与半圆锥的体积公式计算可得.

易错点

根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量

1
题型: 单选题
|
分值: 4分

4.若,满足约束条件,则z=x+2y的取值范围是(         )

A[0,6]

B[0,4]

C[6,+∞]

D[4,+∞]

正确答案

D

解析

可行域为一开放区域,直线过点时取最小值4,无最大值,选D.

考查方向

简单的线性规划应用

解题思路

作出不等式组对应的平面区域,根据z的几何意义,利用数形结合即可得到结论.

易错点

z的几何意义

1
题型: 单选题
|
分值: 4分

5.若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则Mm  (      )

Aa有关,且与b有关

Ba有关,但与b无关

Ca无关,且与b无关

Da无关,但与b有关

正确答案

B

解析

因为最值在中取,所以最值之差一定与无关,选B.

考查方向

受限区间二次函数最值

解题思路

由二次函数在受限区间内在中取最值,作差很容易看出答案.

易错点

受限区间二次函数最值

1
题型: 单选题
|
分值: 4分

7.函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(       )

AA

BB

CC

DD

正确答案

D

解析

原函数先减再增,再减再增,且位于增区间内,因此选D.

考查方向

函数的图象的应用

解题思路

由导函数图象,知原函数先减再增,再减再增,且位于增区间内,选出答案

易错点

函数的图象的判别

1
题型: 单选题
|
分值: 4分

8.已知随机变量满足P=1)=piP=0)=1–pii=1,2. 若0<p1<p2<,则(       )

A<<

B<>

C><

D>>

正确答案

A

解析

,∴,∵

,故选A.

考查方向

随机变量及其分布

解题思路

已知随机变量服从两点分布,由两点分布知期望与方差,由0<p1<p2<,且p1+p2<1,

,得出答案

易错点

随机变量两点分布

1
题型: 单选题
|
分值: 4分

10.如图,已知平面四边形ABCDABBCABBCAD=2,CD=3,ACBD交于点O,记,则(        )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

因为,所以

故选C.

考查方向

平面向量的数量积

解题思路

由题知为锐角,,所以,又因,所以,选出答案.

易错点

两个平面向量的夹角

1
题型: 单选题
|
分值: 4分

9.如图,已知正四面体DABC(所有棱长均相等的三棱锥),PQR分别为ABBCCA上的点,AP=PB,分别记二面角D–PR–QD–PQ–RD–QR–P的平面角为αβγ,则(       )

Aγ<α<β

Bα<γ<β

Cα<β<γ

Dβ<γ<α

正确答案

B

解析

设O为三角形ABC中心,则O到PQ距离最小,O到PR距离最大,O到RQ距离居中,而高相等,因此所以选B

考查方向

点、直线、平面的位置关系

解题思路

过点D作面ABC,垂足为O,再过点O分别作PQ、QR、RP的垂线段,垂足分别为F、G、E,如图1,平面图形如图2,很容易看出O到PQ距离最小,O到PR距离最大,O到RQ距离居中,而高相等,因此

填空题 本大题共7小题,每小题4分,共28分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 4分

11.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积       

正确答案

解析

将正六边形分割为6个等边三角形,则

考查方向

圆与三角函数

解题思路

单位圆内接正六边形,再将正六边形分割为6个等边三角形,所以6个正三角形的面积为正六边形的面积.

易错点

正六边形的边的关系

1
题型:填空题
|
分值: 6分

12.已知abR(i是虚数单位)则      ab=      

正确答案

5,2

解析

由题意可得,则,解得,则

考查方向

(1)复数的四则运算;(2)复数相等

解题思路

可知,解出的结果,直接代入就可得出答案.

易错点

复数的四则运算

1
题型:填空题
|
分值: 6分

14.已知△ABCAB=AC=4,BC=2. 点DAB延长线上一点,BD=2,连结CD,则△BDC的面积是______,cos∠BDC=_______.

正确答案

解析

取BC中点E,DC中点F,由题意:

△ABE中,

.

综上可得,△BCD面积为.

考查方向

(1)三角函数;(2)正余弦定理的应用

解题思路

△ABE中,由余弦定理算出

易错点

正余弦定理的灵活运用

1
题型:填空题
|
分值: 6分

13.已知多项式,则=________,=________.

正确答案

16,4

解析

由二项式展开式可得通项公式为:,分别取可得,取,可得

考查方向

二项式定理

解题思路

易错点

1
题型:填空题
|
分值: 6分

15.已知向量ab满足的最小值是________,最大值是_______.

正确答案

4,

解析

设向量的夹角为,由余弦定理有:

,则:,

,则

据此可得:

的最小值是4,最大值是

考查方向

平面向量的数量积

解题思路

设向量的夹角为,算出,再令,平方可得,直接就求出最大值与最小值.

易错点

的求解

1
题型:填空题
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分值: 4分

16.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有______种不同的选法.(用数字作答)

正确答案

660

解析

由题意可得:总的选择方法为:种方法,其中不满足题意的选法有种方法,则满足题意的选法有:种.

考查方向

排列与组合

解题思路

由题意直接算出总的选择方法,再算出不满足题意的选法,两者直接作差求出结果.

易错点

排列与组合的灵活运用

1
题型:填空题
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分值: 4分

17.已知aR,函数在区间[1,4]上的最大值是5,则的取值范围是___________.

正确答案

解析

,分类讨论:

①当时,

函数的最大值,舍去;

②当时,,此时命题成立;

③当时,,则:

,解得:

综上可得,实数的取值范围是

考查方向

(1)均值不等式;(2)求解绝对值不等式

解题思路

,分类讨论当时,当时,当时不同的情况讨论进行计算求出结果.

易错点

分类讨论的运用

简答题(综合题) 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 14分

18.(本题满分14分)已知函数fx)=sin2x–cos2x sin x cos xxR).

(Ⅰ)求的值.

(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间.

正确答案

(Ⅰ)2;(Ⅱ)最小正周期为,单调递增区间为

解析

(Ⅰ)由

(Ⅱ)由题,所以fx)的最小正周期为.

由正弦函数的性质得

解得

所以,的单调递增区间是

考查方向

(1)三角恒等变换;(2)正弦函数的周期性和单调性

解题思路

(I)直接将代入得出结果;(II)化简fx)的表达式即可得出最小正周期和单调区间.

易错点

正弦型函数的性质应用

1
题型:简答题
|
分值: 15分

19.(本题满分15分)如图,已知四棱锥PABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,CDADPC=AD=2DC=2CBEPD的中点.

(Ⅰ)证明:平面PAB

(Ⅱ)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

正确答案

(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

解析

(I)取PA的中点F,连接EFCE

EPD的中点,

EFAD

在四边形ABCD中,BCADAD=2DC=2CBF为中点

易得EF∥CB,且EF=BC,

∴BCEF为平行四边形,

∴CE//BF

平面PAB

BF平面PAB

EC∥平面PAB

(I)过PPHCD,交CD的延长线于点H

在Rt△PDH中,设DH=x,则易知,(Rt△PCH

解得DH=,过P作底面的垂线且与底面交于点O,以O为原点,OB所在直线为轴,以OH所在的直线为轴,以OP所在的直线为轴,取DH=BC=1,

由题易得B,0,0),D,1,0),C,1,0),P(0,0,),E

 ,

设平面PBC的法向量为 ,则 ,令x=1,则t=,故

设直线CE与平面PBC所成的角为θ

则sinθ=

故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为

考查方向

(1)直线与平面平行的判断;(2)线面角的三角函数值

解题思路

(I)取AD的中点F,∴EFAD,又由AD=2DC=2CBF为中点,易得EF∥CB,且EF=BC,∴BCEF为平行四边形,∴CE//BF即可证明结论;(II)过P作底面的垂线且与底面交于点O,以O为原点,OB所在直线为轴,以OH所在的直线为轴,以OP所在的直线为轴,取DH=BC=1,求出平面PBC的法向量和CE,设直线CE与平面PBC所成的角为θ,即可求得直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

易错点

(1)直线与平面平行的判断;(2)寻找法向量

1
题型:简答题
|
分值: 15分

20.(本题满分15分)已知函数f(x)=(x).

(Ⅰ)求f(x)的导函数;

(Ⅱ)求f(x)在区间上的取值范围.

正确答案

(Ⅰ);(Ⅱ)[0, ].

解析

(Ⅰ)因为

所以

(Ⅱ)由

解得

因为

所以fx)在区间上的取值范围是

考查方向

利用导数研究函数的单调性

解题思路

(Ⅰ)直接根据函数的求导原则求导即可;(II)根所(Ⅰ)中求出导函数的正负得到函数的单调性及极值点,计算端点和极值,并证明恒成立即可最终确定函数的取值范围

易错点

导函数的正负得出

1
题型:简答题
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分值: 15分

21.(本题满分15分)如图,已知抛物线,点A,抛物线上的点.过点B作直线AP的垂线,垂足为Q

(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围;

(Ⅱ)求的最大值.

正确答案

(Ⅰ);(Ⅱ)

解析

(Ⅰ)由题易得Pxx2),-<x<

kAP==x-(-1,1),

故直线AP斜率的取值范围为(-1,1).

(Ⅱ)联立直线APBQ的方程

解得点Q的横坐标是

因为

|PA|==

|PQ|=

所以

因为

所以 f(k)在区间上单调递增,上单调递减,

因此当k=时,取得最大值

考查方向

(1)直线的斜率;(2)构造函数求最值

解题思路

(I)由点Pxx2),-<x<,而kAP==x-直接求得结果;(II)联立直线APBQ的方程解得点Q的横坐标,进而列出|PA|,|PQ|,所以,再构造函数,求导求最值

易错点

用导数研究函数的单调性

1
题型:简答题
|
分值: 15分

22.(本题满分15分)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)().

证明:当时,

(Ⅰ)0<xn+1xn

(Ⅱ)2xn+1 xn

(Ⅲ)xn

正确答案

(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.

解析

(Ⅰ)证明:令函数,则易得上为增函数.

,若恒成立

又由可知

所以

(Ⅱ)由

记函数

函数在[0,+∞)上单调递增,所以,

因此

(Ⅲ)

递推得

又由可知

综上可知,

考查方向

(1)数列综合应用;(2)导数在研究函数中的应用

解题思路

(I)将数列和函数结合起来,,又恒成立,再利用作差即可得证;(II)由,令函数转化为导数进行求解即可得出结论;(III)由(II)结论可推出,根据可推出,综合即可得证.

易错点

构造函数的灵活运用

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