2017年高考真题数学 (浙江卷)

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试卷目录

1、单选题

2、填空题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷

单选题本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 4分

6．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

，所以为充要条件，选C.

考查方向

（1）等差数列；（2）充要条件的判断

解题思路

等差数列中，直接判断出结果

易错点

充要条件的判断

题型：单选题

分值: 4分

1．已知集合，，那么 ( )

正确答案

解析

取所有元素，得.

考查方向

并集的运算

解题思路

直接利用并集定义进行计算即可

易错点

并集定义的合理运用

题型：单选题

分值: 4分

2．椭圆的离心率是( )

正确答案

解析

，选B.

考查方向

椭圆的几何性质

解题思路

由椭圆定义直接求出代入离心率公式

易错点

椭圆中的关系及离心率

题型：单选题

分值: 4分

3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是( )

A+1

B+3

C+1

D+3

正确答案

解析

.选A．

考查方向

由三视图求几何体的体积

解题思路

几何体是三棱锥与半圆锥的组合体，根据三视图判断三棱锥的高及底面三角形的相关几何量的数据，判断半圆锥的高及底面半径，把数据代入三棱锥与半圆锥的体积公式计算可得．

易错点

根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量

题型：单选题

分值: 4分

4．若,满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是( )

A[0,6]

B[0,4]

C[6，+∞]

D[4,+∞]

正确答案

解析

可行域为一开放区域，直线过点时取最小值4，无最大值，选D.

考查方向

简单的线性规划应用

解题思路

作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

易错点

z的几何意义

题型：单选题

分值: 4分

5．若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m ( )

A与a有关，且与b有关

B与a有关，但与b无关

C与a无关，且与b无关

D与a无关，但与b有关

正确答案

解析

因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．

考查方向

受限区间二次函数最值

解题思路

由二次函数在受限区间内在中取最值，作差很容易看出答案.

易错点

受限区间二次函数最值

题型：单选题

分值: 4分

7．函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（）

正确答案

解析

原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．

考查方向

函数的图象的应用

解题思路

由导函数图象，知原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，选出答案

易错点

函数的图象的判别

题型：单选题

分值: 4分

8．已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1–pi，i=1，2．若0<p1<p2<，则( )

A<，<

B<，>

C>，<

D>，>

正确答案

解析

∵，∴，∵，

∴，故选A．

考查方向

随机变量及其分布

解题思路

已知随机变量服从两点分布，由两点分布知期望与方差，由0<p1<p2<，且p1+p2<1,

，得出答案

易错点

随机变量两点分布

题型：单选题

分值: 4分

10．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则( )

正确答案

解析

因为，，，所以，

故选C．

考查方向

平面向量的数量积

解题思路

由题知为锐角，，所以，，，又因，，所以，选出答案.

易错点

两个平面向量的夹角

题型：单选题

分值: 4分

9．如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，则( )

Aγ<α<β

Bα<γ<β

Cα<β<γ

Dβ<γ<α

正确答案

解析

设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等，因此所以选B

考查方向

点、直线、平面的位置关系

解题思路

过点D作面ABC，垂足为O，再过点O分别作PQ、QR、RP的垂线段，垂足分别为F、G、E，如图1，平面图形如图2，很容易看出O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等，因此

填空题本大题共7小题，每小题4分，共28分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，．

正确答案

解析

将正六边形分割为6个等边三角形，则．

考查方向

圆与三角函数

解题思路

单位圆内接正六边形，再将正六边形分割为6个等边三角形，所以6个正三角形的面积为正六边形的面积.

易错点

正六边形的边的关系

题型：填空题

分值: 6分

12．已知a，b∈R，（i是虚数单位）则，ab= ．

正确答案

5，2

解析

由题意可得，则，解得，则．

考查方向

（1）复数的四则运算；（2）复数相等

解题思路

由可知，解出的结果，直接代入就可得出答案.

易错点

复数的四则运算

题型：填空题

分值: 6分

14．已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．

正确答案

解析

取BC中点E，DC中点F，由题意：，

△ABE中，，，

又，

，

综上可得，△BCD面积为，.

考查方向

（1）三角函数；（2）正余弦定理的应用

解题思路

△ABE中，由余弦定理算出

易错点

正余弦定理的灵活运用

题型：填空题

分值: 6分

13．已知多项式，则=________，=________．

正确答案

16，4

解析

由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，取，可得．

考查方向

二项式定理

解题思路

易错点

无

题型：填空题

分值: 6分

15．已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．

正确答案

4，

解析

设向量的夹角为，由余弦定理有：，

，则：,

令，则，

据此可得：，

即的最小值是4，最大值是．

考查方向

平面向量的数量积

解题思路

设向量的夹角为，算出，，再令，平方可得，直接就求出最大值与最小值.

易错点

，的求解

题型：填空题

分值: 4分

16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答）

正确答案

660

解析

由题意可得：总的选择方法为：种方法，其中不满足题意的选法有种方法，则满足题意的选法有：种.

考查方向

排列与组合

解题思路

由题意直接算出总的选择方法，再算出不满足题意的选法，两者直接作差求出结果.

易错点

排列与组合的灵活运用

题型：填空题

分值: 4分

17．已知aR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．

正确答案

解析

，分类讨论：

①当时，，

函数的最大值，舍去；

②当时，，此时命题成立；

③当时，，则：

或，解得：或

综上可得，实数的取值范围是．

考查方向

（1）均值不等式；（2）求解绝对值不等式

解题思路

由，分类讨论当时，当时，当时不同的情况讨论进行计算求出结果.

易错点

分类讨论的运用

简答题（综合题）本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 14分

18．（本题满分14分）已知函数f（x）=sin2x–cos2x– sin x cos x（xR）．

（Ⅰ）求的值．

（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．

正确答案

（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．

解析

（Ⅰ）由，，

．

得．

（Ⅱ）由题，所以f（x）的最小正周期为.

由正弦函数的性质得

，

解得

，

所以，的单调递增区间是．

考查方向

（1）三角恒等变换；（2）正弦函数的周期性和单调性

解题思路

（I）直接将代入得出结果；（II）化简f（x）的表达式即可得出最小正周期和单调区间.

易错点

正弦型函数的性质应用

题型：简答题

分值: 15分

19．（本题满分15分）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．

（Ⅰ）证明：平面PAB；

（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．

正确答案

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

解析

（I）取PA的中点F，连接EF，CE

∵E为PD的中点，

∴EF∥AD

在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点

易得EF∥CB，且EF＝BC，

∴BCEF为平行四边形，

∴CE//BF

∵平面PAB

而BF平面PAB

∴EC∥平面PAB

（I）过P作PH⊥CD，交CD的延长线于点H

在Rt△PDH中，设DH=x，则易知，（Rt△PCH）

解得DH=，过P作底面的垂线且与底面交于点O，以O为原点，OB所在直线为轴，以OH所在的直线为轴，以OP所在的直线为轴，取DH=BC=1，

由题易得B（，0,0），D（，1,0），C（，1,0），P（0,0，），E（，，）

则，，

设平面PBC的法向量为，则，令x=1,则t=,故，

设直线CE与平面PBC所成的角为θ，

则sinθ=

故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为

考查方向

（1）直线与平面平行的判断；（2）线面角的三角函数值

解题思路

（I）取AD的中点F，∴EF∥AD，又由AD=2DC=2CB，F为中点，易得EF∥CB，且EF＝BC，∴BCEF为平行四边形，∴CE//BF即可证明结论；（II）过P作底面的垂线且与底面交于点O，以O为原点，OB所在直线为轴，以OH所在的直线为轴，以OP所在的直线为轴，取DH=BC=1，求出平面PBC的法向量和CE，设直线CE与平面PBC所成的角为θ，即可求得直线CE与平面PBC所成角的正弦值．

易错点

（1）直线与平面平行的判断；（2）寻找法向量

题型：简答题

分值: 15分

20．（本题满分15分）已知函数f(x)=（x–）（）．

（Ⅰ）求f(x)的导函数；

（Ⅱ）求f(x)在区间上的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）[0， ]．

解析

（Ⅰ）因为，，

所以

．

（Ⅱ）由

，

解得

或．

因为

又，

所以f（x）在区间上的取值范围是．

考查方向

利用导数研究函数的单调性

解题思路

（Ⅰ）直接根据函数的求导原则求导即可；（II）根所（Ⅰ）中求出导函数的正负得到函数的单调性及极值点，计算端点和极值，并证明恒成立即可最终确定函数的取值范围

易错点

导函数的正负得出

题型：简答题

分值: 15分

21．（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．

（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；

（Ⅱ）求的最大值．

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）由题易得P（x，x2），-<x<，

故kAP==x-（-1,1），

故直线AP斜率的取值范围为（-1,1）.

（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是

．

因为

|PA|==，

|PQ|= ，

所以．

令，

因为

，

所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，

因此当k=时，取得最大值．

考查方向

（1）直线的斜率；（2）构造函数求最值

解题思路

（I）由点P（x，x2），-<x<，而kAP==x-直接求得结果；（II）联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标，进而列出|PA|，|PQ|，所以，再构造函数，求导求最值

易错点

用导数研究函数的单调性

题型：简答题

分值: 15分

22．（本题满分15分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）．

证明：当时，

（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；

（Ⅱ）2xn+1− xn≤；

（Ⅲ）≤xn≤．

正确答案

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.

解析

（Ⅰ）证明：令函数，则易得在上为增函数．

又，若恒成立，

又由可知，

由．

所以．

（Ⅱ）由得

记函数

函数在[0,+∞）上单调递增，所以,

因此

（Ⅲ），

即递推得

．

由知，

又由可知．

即．

综上可知，．

考查方向

（1）数列综合应用；（2）导数在研究函数中的应用

解题思路

（I）将数列和函数结合起来，，，又恒成立，再利用作差即可得证；（II）由得，令函数转化为导数进行求解即可得出结论；（III）由（II）结论可推出，根据可推出，综合即可得证.

易错点

构造函数的灵活运用

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解析

考查方向

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易错点

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