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数学 海淀区2017年高三第二次联合考试
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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2、简答题
13
14
15
16
17
18
19
3、填空题
20
21
22
23
  • 真题试卷
  • 模拟试卷
单选题 本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 5分

4.若等差数列的公差为2，且是与的等比中项，则该数列的前n项和Sn取最小值时，n的值等于(    )

A7

B6

C5

D4

正确答案

B

解析

由是与的等比中项可得：，由等差数列的公差为2得：，解得，，

由可得该数列的前n项和Sn取最小值时，n=6，故选C.

考查方向

本题主要考查等差数列与等比数列的性质，通项公式的应用，考查利用数列的单调性求前n项和的最值，属于中等题.

解题思路

运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得，结合已知公差，代入等差数列的通项公式可求得通项公式，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值.

易错点

灵活应用等差数列与等比数列的性质，数列的单调性是解答本题的关键.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

6.已知若，是夹角为90°的两个单位向量，则，的夹角为(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

∵，是夹角为90°的两个单位向量，∴，，∴，故，的夹角为45°，故选C.

考查方向

本题主要考查向量夹角的求解，考查学生的计算能力，属于中等题.

解题思路

根据题意可得，，利用向量夹角公式即可求出与的夹角.

易错点

正确理解单位向量，利用向量夹角公式进行求解是解答本题的关键.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

8.右图是求样本x1，x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为(    )

AS=S+

BS=S+

CS=S+ n

DS=S+

正确答案

D

解析

由题意可知：该程序的作用是求样本x1，x2，…，x10平均数，循环体的功能是累加各样本的值再求平均数，故应为：，故选D.

考查方向

本题主要考查循环结构的应用，考查学生的判断能力和分析能力，属于基础题.

解题思路

由题意分析出该程序的作用是计算样本的平均数，∴循环体的作用是先累加再求平均数，由此即可得出正确答案.

易错点

正确判断程序的作用，分析循环体的主要功能是解题的关键.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

1.已知复数，则在复平面内对应的点在(    )

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

C

解析

，∴复数对应的点的坐标是，∴在复平面内对应的点在第三象限，故选C.

考查方向

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是正确运算两个复数的除法，属于基础题.

解题思路

首先整理出复数的的表示形式，得到两个复数的除法形式，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出最简结果，得到对应点的坐标，看出位置.

易错点

应用复数的运算法则对复数z进行化简是本题的关键.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

2.已知全集，集合，，则(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意得，，∴，故选D.

考查方向

本题主要考查集合交集与补集的运算，属于基础题.

解题思路

根据补集的定义求出，再利用集合的交集运算即可求出答案.

易错点

熟练掌握集合的补集和交集运算时解答本题的关键.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

3.下列选项中说法正确的是(    )

A命题“为真”是命题“为真” 的必要条件.

B若向量，满足，则与的夹角为锐角.

C若，则.

D“”的否定是“”.

正确答案

A

解析

对于A，∵命题“为真” 则p和q均为真命题，∴命题“为真”可以推出命题“为真，反之命题“为真不能推出命题“为真，故命题“为真”是命题“为真” 的必要条件，A正确；

对于B，若与的夹角为0°，则可得，此时与的夹角不是锐角，故B错；

对于C，若且当时可能存在，故C错；

对于D，“”的否定是“”，故D错.

综上所述，正确答案为A，故选A.

考查方向

本题主要考查命题真假的判定，考查条件充分性与必要性的判断，考查向量的基本运算，不等式的基本计算，全称命题与特称命题的互化等，属于基础题.

解题思路

利用各选项对应的知识点对各个选项进行判断即可得出正确答案.

易错点

应用相应的知识点对每个选项进行判断，列举出反例是解决本题的关键.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

5.过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，且，这样的直线可以作2条，则b的取值范围是(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由，则双曲线的左焦点为F，当AB所在直线斜率不存在时，则其方程为，代入可得，此时；

由焦点弦公式及性质知过左焦点的直线交双曲线的左支于A，B两点的弦长，即过左焦点的弦长中，垂直于x轴的弦长最短，则要满足的直线可以作2条，则设坐标分别为，则，又，∴，故选D.

考查方向

本题主要考查双曲线的性质及焦点弦公式的应用，考查学生的分析能力，属于中等题.

解题思路

利用焦点弦长公式及其性质即可得出：过左焦点的弦长中，垂直于x轴的弦长最短，求出最短弦长为，再根据的直线可以作2条即可求出b的值.

易错点

根据焦点弦长公式推断出“过左焦点的弦长中，垂直于x轴的弦长最短”是解题的关键.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

7.，则展开式中，项的系数为(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

则二项式的展开式的通项公式为，令解得r=3，∴展开式中项的系数为：，故选A.

考查方向

本题主要考查求定积分，二项式系数的求解，二项式展开式的通项公式，属于中等题.

解题思路

求定积分可得a的值，利用二项式展开式通项公式再令x的幂指数为3求得r的值，即可求出展开式中项的系数.

易错点

定积分的计算及二项式展开式通项公式的应用易出错.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

9.设为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为(    )

A3

B6

C9

D12

正确答案

B

解析

抛物线的焦点坐标，准线方程为，设，，，∵，∴点F是△ABC的重心，∴，再由抛物线的定义可得：，

，，∴，故选B.

考查方向

本题主要考查三角形的重心坐标公式，抛物线的定义，标准方程以及简单性质的应用，属于中等题.

解题思路

根据可判断点F是△ABC的重心，进而利用重心公式求得坐标间的关系，再根据抛物线的定义即可求得答案.

易错点

由得出点F为三角形的重心，三角形重心坐标公式及抛物线定义的应用是本题的关键.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

10.函数的定义域是R，若对于任意的正数a，函数都是其定义域上的减函数，则函数的图象可能是(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设，∵是其定义域上的减函数，∴即，∴，由此可知，在自变量增大的过程中函数值增加的量越来越小，故有，故选B.

考查方向

本题考查了递减函数与不等式的知识，解题的关键是根据单调性列出不等式，考查学生的灵活应用能力，属于中等题.

解题思路

根据题意列出不等式，进而分析可得在自变量增大的过程中函数值增加量越来越小，分析选项可得答案.

易错点

根据函数单调性，利用减函数的定义列出不等式并进行变形，分析是解答本题的关键.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

11.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即。与此类似，我们可以得到：

(1)正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即；

(2)正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即；

(3)正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即；

那么(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设正四面体的棱长为a，则正四面体的底面高为，故底面积为，正四面体的底面半径为，∴正四面体的高，所以正四面体的体积，∴；

设正方体的棱长为a，则正方体的体积，∴；

设正八面体的棱长为a，则正八面体的一半即四棱锥的高，底面积，∴该四棱锥的体积，故正八面体的体积，∴，故，故选A.

考查方向

本题主要考查正四面体，正方体，正八面体的体积与棱长的关系，考查学生的空间想象能力及分析能力，属于中等题.

解题思路

设正四面体，正方体，正八面体的棱长为a，接而分别求出各自体积，即可求出m，n，t的值，从而求出比值.

易错点

通过仔细分析，分别求出正四面体及正八面体棱长与体积的关系是本题的关键.

1
题型： 单选题
|
分值: 5分

12.记为最接近的整数，如：，，，，，……，若，则正整数m的值为(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

根据已知可得：，，有2个1；，，，有4个2；，，，，，，有6个3；，……，有8个4……；

∴

又，

其中总共的项数为：，又，

∴，故选C.

考查方向

本题主要考查新定义的理解，等差数列求和公式的应用，考查学生的理解分析能力，属于中等题.

解题思路

利用，，，，，找出规律，再判断出的计算规律，

推出：，

而，由此找出总共的项数即可得出m的值.

易错点

根据条件得出的计算规律再结合等差数列求和公式得出总的项数是本题的关键.

简答题（综合题） 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 12分

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，

AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点.

21.证明：PB∥平面ACM；

22.设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M—AC—B的大小为β，求sinα·cosβ的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

连结OM，BD，∵O为BD中点，M为PD中点，∴OM为△PBD的中位线，故OM∥PB，OM平面ACM，PB平面ACM，故PB∥平面ACM；

考查方向

本题主要考查线面平行的判定方法，考查学生的观察能力，属于中等题.

解题思路

连接OM，BD，则可得OM为△PBD的中位线，故OM∥PB，从而可得PB∥平面ACM.

易错点

本题的解题关键是构造△PBD的中位线，熟练掌握线面平行的判定定理.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

取DO的中点N，连结MN，AN，则MN∥PO，∵PO⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，

故∠MAN=α为所求的直线AM与平面ABCD所成的角.

∵，在Rt△ADO中，，在Rt△AMN中，

∴，取AO的中点R，连结NR，MR，∵NR∥AD，

∴NR⊥OA，MN⊥平面ABCD，由三垂线定理知MR⊥AO，故∠MRN为二面角M—AC—B的补角，即为πβ.

∵∴，∴

考查方向

本题主要考查线面角和二面角的计算，考查学生的分析和计算能力，属于中等题.

解题思路

利用线面角，二面角的定义依次找出线面角和二面角，再根据条件求出sinα和cosβ即可.

易错点

正确找出线面角和二面角并根据条件求出sinα和cosβ的值是本题的关键.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

设椭圆（a>0）的焦点在x轴上.

23.若椭圆E的离心率，求椭圆E的方程；

24.设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为直线x+y=与椭圆E的一个公共点，直线F2P交y轴于点Q，连结F1P.问当a变化时，与的夹角是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题知，由得：

a4 - 25a2+100=0，故a2=5或20（舍），故椭圆E的方程为.

考查方向

本题主要考查椭圆中a，b，c三者的关系，考查离心率的计算，属于基础题.

解题思路

根据椭圆中a，b，c三者的关系即可得出a，c的关系式，再利用即可求出a的值，从而求出椭圆的方程.

易错点

应用椭圆中a，b，c三者的关系结合离心率的计算公式是解答本题的关键.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

设P(x0，y0)，F1(-c，0)，F2(c，0)，则c2=2a2-8，  联立 得8x2 -4x+a4=0，

即，故，，

直线PF2的方程为，令x=0，则，即点Q的坐标为，

故，

故

故与的夹角为定值.

考查方向

本题主要考查直线与椭圆的相交问题，考查“设而不求”思想的应用，考查学生的分析能力，属于中等题.

解题思路

设P(x0，y0)，联立直线与椭圆方程，用a表示出点P的坐标，接而求出直线PF2的方程，从而表达出点Q的坐标，从而求出和，利用向量夹角公式即可求出夹角.

易错点

灵活利用“设而不求”思想，细心计算是正确解答本题的关键.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=.

17.求角A的大小；

18.若0<A<，a=6，且△ABC的面积，求△ABC的周长.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

或

解析

由正弦定理得2sinAsinB= ∵0<A<π，∴或

考查方向

本题主要考查正弦定理的应用，考查学生的计算能力和分析能力，属于中等题.

解题思路

由已知等式，利用正弦定理化简，根据求出的值，即可确定出A的度数.

易错点

正确应用正弦定理将等式进行化简是解题的关键.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

14

解析

∵， ∴，

由余弦定理得，， 故△ABC的周长l=a+b+c=14

考查方向

本题主要考查三角形面积公式及余弦定理的综合应用，考查学生的计算能力，属于中等题.

解题思路

利用∠A的值及面积公式求出，再根据余弦定理可求出，即可求出△ABC的周长.

易错点

灵活应用三角形面积公式及余弦定理是本题的关键.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：

          

19.求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；

20.在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35，40）内的人数X，求 X的分布列及数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

由图知，P(25≤x<30)=0.01×5=0.05，故x=100×0.05=5；

P(30≤x<35)=1-(0.05+0.35+0.3+0.1)=1-0.8=0.2，故y=100×0.2=20，其

补全频率分布直方图，如下图：

考查方向

本题主要考查频率分布直方图的应用，频率与频数公式的应用，属于基础题.

解题思路

由频率分布直方图先求出[25，30)岁的频率和[30,35)的频率，再利用频率与频数的关系式，由此能求出x和y的值.

易错点

本题的关键是熟练掌握频率分布直方图的性质及频率与频数公式.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

∵各层之间的比为5∶20∶35∶30∶10=1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，

∴年龄在[35，40）内层抽取的人数为7人.

X可取0，1，2，， 

故X的分布列为：

故.

考查方向

本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，属于中等题.

解题思路

在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加手机体验问卷调查，[35,40)中抽取2人，从而X的可能取值为0,1,2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.

易错点

本题的解题关键是认真审题，熟练掌握离散型随机变量分布列及数学期望的求解方法.

1
题型：简答题
|
分值: 12分

设函数f(x)=x2-ax（a>0，且a≠1），g(x)=，（其中为f(x)的导函数）.

25.当a=e时，求g(x)的极大值点；

26.讨论f(x)的零点个数.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

g(x)=2x-ex，=2-ex=0，当x>0；当x>ln2时，<0，故的极大值点为ln2

考查方向

本题主要考查导函数的应用，考查极值点的求解，属于基础题.

解题思路

将函数f(x)求导即可得出g(x)的表达式，再将g(x)求导，令导函数为0即可求出极值点，通过判断函数单调性即可求出函数的极大值点.

易错点

熟练掌握基础函数的求导，极值点的求解方法是本题的关键.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

考查方向

本题主要考查函数零点个数的判断，考查分类讨论思想的应用，考查学生的综合分析能力，属于难题.

解题思路

对a的范围及x的取值范围进行讨论，通过导函数判断函数的单调性，结合零点存在性定理及函数的图象即可求出函数零点的个数.

易错点

本题的关键是正确对a和x的取值进行讨论，结合函数图象和函数单调性进行解答.

1
题型：简答题
|
分值: 10分

选修4—5：不等式选讲.

已知函数的最大值为10.

29.求的值；

30.求的最小值，并求出此时的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

10

解析

当且仅当时等号成立，

又的最大值为又已知的最大值为10，所以

考查方向

本题主要考查绝对值不等式的求解，考查学生的分析能力，属于中等题.

解题思路

利用绝对值不等可得当且仅当时等号成立，再结合即可得出f（x）的最大值为即可求出的值.

易错点

灵活运用绝对值不等式求解方法进行求解是本题的关键.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

由（1）知，由柯西不等式得：，即，当且仅当即时等号成立.

考查方向

本题主要考查利用柯西不等式求最值问题，考查学生的分析能力，属于中等题.

解题思路

由（1）得，利用柯西不等式即可求出的最小值，从而求出的值.

易错点

本题的关键是构造满足柯西不等式的条件接而利用柯西不等式进行求解.

1
题型：简答题
|
分值: 10分
false

28.设直线l：3x+y+1=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

系，求过线段P1 P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

联立直线方程与C的方程可解得：，P2(0，1)，P1 P2线段中点，，故P1 P2线段中垂线的方程为，  即3x-9y-4=0，即极坐标方程为

考查方向

本题主要考查中点坐标公式，极坐标和直角坐标的互化，考查利用点斜式求直线方程，属于中等题.

解题思路

先联立直线方程与曲线C的方程可求得，P2(0，1)，从而得出P1 P2线段中点，由得线段P1 P2中垂线的方程斜率，继而求出线段P1 P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

易错点

利用中点坐标公式，点斜式求直线方程，极坐标与直角坐标互化公式是本题的关键.

填空题 本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

13.函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为          .

正确答案

解析

∵函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，∴，

∴，则的最小值为，故答案为.

考查方向

本题主要考查余弦函数的图象的对称性，考查学生的分析能力，属于基础题.

解题思路

由条件利用余弦函数图象的对称性，即可求得的最小值.

易错点

熟练掌握余弦函数的图象及性质是解答本题的关键.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

14.袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“第一次摸得红球”为事件, “摸得的两球同色”为事件,则概率为           .

正确答案

解析

由，，由条件概率计算公式得，故答案为.

考查方向

本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，体现了转化思想，属于基础题.

解题思路

求出事件A发生的概率，事件AB同时发生的概率，利用条件概率的公式即可求得.

易错点

熟练掌握条件概率公式是解答本题的关键.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

15.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为           .

正确答案

解析

由三视图知该几何体是如下图所示的三棱锥A—BCD，

将该三棱锥放在棱长为4的正方体中，E是棱的中点，所以三棱锥A—BCD和三棱柱DEF—ABC的外接球相同，设外接球的球心为O，半径为R，△ABC外接圆的圆心为M，则OM=2，在△ABC中，，由余弦定理得：，∴，由正弦定理得：，则，∴，则外接球的表面积，故答案为：.

考查方向

本题考查了空间几何体三视图，正弦定理和余弦定理的综合应用，考查学生的空间想象力，属于中等题.

解题思路

由三视图知该几何体是三棱锥，将三棱锥放在对应的正方体中，把三棱锥A—BCD的外接球转化为对应得三棱柱的外接球，结合图象由余弦定理、正弦定理求出外接球的半径，代入球的表面积公式求解即可.

易错点

正确运用正弦定理、余弦定理，由三视图还原几何体，确定外接圆的圆心位置是解答本题的关键.

1
题型：填空题
|
分值: 5分

16.已知动点满足：，则的最小值为           .

正确答案

0

解析

∵，则，∴要使只要，∴；

∴动点P满足，该不等式表示的平面区域如下图：

设，∴，∴表示以为圆心的圆的半径，由图形可知该圆经过原点O时半径最小为3，∴，则z的最小值为0，故答案为0.

考查方向

本题主要考查线性规划的应用，考查圆的标准方程，考查学生的分析能力，属于中等题.

解题思路

可将P满足的不等式组变为，作出该不等式组表示的平面区域，可设，进一步得到，从而根据平面区域求以为圆心的半径的最小值即得到z的最小值.

易错点

根据不等式组画出可行域，正确理解的几何概念是解答本题的关键.

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