数学 东城区2011年高三试卷
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.下列说法中,正确的是(  )

A命题“若,则”的逆命题是真命题

B命题“”的否定是:“

C命题“”为真命题,则命题“”和命题“”均为真命题

D已知,则“”是“”的充分不必要条件

正确答案

B

解析

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知识点

四种命题及真假判断
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.若为不等式组 表示的平面区域,则从-2连续变化到1时,动直线扫过中的那部分区域的面积为(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

不等式的性质
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.等差数列的前项和为,已知,则(  )

A38

B20

C10

D9

正确答案

C

解析

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知识点

由数列的前几项求通项
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为(如图2所示).那么对于图中给定的,下列判断中一定正确的是(    )

A时刻,甲车在乙车前面

B时刻后,甲车在乙车后面

C时刻,两车的位置相同

D时刻后,乙车在甲车前面

正确答案

A

解析

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知识点

函数的图象与图象变化
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有(  )

A1344种

B1248种

C1056种

D960种

正确答案

A

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设集合,则的取值范围是(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

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知识点

集合的含义
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.若直线通过点,则(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

直线的倾斜角与斜率
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.如图,正方体的棱线长为1,线段上有两个动点E,F,且,则下列结论中错误的是(    )

A

B

C三棱锥的体积为定值

D异面直线所成的角为定值

正确答案

D

解析

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知识点

空间几何体的结构特征
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.已知,其中是虚数单位,那么实数 ____________.

正确答案

解析

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知识点

复数代数形式的加减运算
1
题型:填空题
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分值: 5分

11.如图,AB,CD是半径为的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P,PD=,∠OAP=30°,则CP=______.

正确答案

解析

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知识点

任意角的概念
1
题型:填空题
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分值: 5分

10.在极坐标系)中,曲线 与 的交点的极坐标为______.

正确答案

解析

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知识点

虚数单位i及其性质
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角,得到曲线.若对于每一个旋转角,曲线都是一个函数的图像,则的最大角的正切值为__________.

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知是椭圆的左焦点,分别是椭圆和圆上的动点,的最小值是______________________;的最大值为________________.

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:填空题
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分值: 5分

12.设,若方程有且仅有两个实数解,则实数的取值范围是________.

正确答案

(-∞,2)

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

15.设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为

(Ⅰ)求的大小;

(Ⅱ)求的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以

为锐角三角形得

(Ⅱ)

为锐角三角形知,

所以.由此有

所以,的取值范围为

解析

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知识点

任意角的概念
1
题型:简答题
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分值: 13分

16.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位:克)重量的分组区间为(490,,(495,,……(510,,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.

(1)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量.

(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过505克的产品数量,求Y的分布列.

(3)从流水线上任取5件产品,求恰有2件产品的重量超过505克的概率.

正确答案

(1)重量超过505克的产品数量是

(件)

(2)Y的分布列为

(3)

解析

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知识点

随机事件的关系
1
题型:简答题
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分值: 13分

17.如图,斜三棱柱的底面是直角三角形,,点在底面上的射影恰好是的中点,且

(Ⅰ)求证:平面平面

(Ⅱ)求证:

(Ⅲ)求二面角的余弦值。

正确答案

(Ⅰ)证明:设的中点为.

在斜三棱柱中,点在底面上的射影恰好是的中点,

     

平面ABC.

平面

.   ,∴.

,∴平面.

平面

平面平面.

解法一:(Ⅱ)连接平面

是直线在平面上的射影.

四边形是菱形.

.         .

(Ⅲ)过点于点,连接.

平面.

是二面角的平面角.

,则

..

..

平面平面..

中,可求.∵,∴.

..

解法二:(Ⅱ)因为点在底面上的射影是的中点,设的中点为,则平面ABC.以为原点,过平行于的直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

,由题意可知,.

,由,得

. 又.

.

(Ⅲ)设平面的法向量为.

      ∴   .

设平面的法向量为.则

   .

.     由图知,二面角是钝角,所以它的余弦值是

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知识点

空间几何体的结构特征
1
题型:简答题
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分值: 13分

18.已知函数其中

(Ⅰ)若处取得极值,求的值;

(Ⅱ)求的单调区间;

(Ⅲ)若的最小值为1,求的取值范围。

正确答案

(Ⅰ)

在x=1处取得极值,∴解得

(Ⅱ)

,     ∴

①当时,在区间的单调增区间为

②当时,

(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)①知,

时,由(Ⅱ)②知,处取得最小值

综上可知,若得最小值为1,则的取值范围是

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函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
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分值: 14分

19.已知椭圆C:的离心率为,且在轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。

(I)求椭圆的方程;

(II)若直线轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论。

正确答案

(I)由已知椭圆C的离心率,则得
从而椭圆的方程为
(II)设,直线的斜率为,则直线的方程为,由消y整理得
是方程的两个根,


即点M的坐标为
同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为

直线MN的方程为:
令y=0,得,将点M、N的坐标代入,化简后得:

椭圆的焦点为

,即

故当时,MN过椭圆的焦点。

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椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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分值: 14分

20.已知数列满足:,an+1=,其中为实数,n为正整数。

(Ⅰ)对任意实数,证明数列不是等比数列;

(Ⅱ)试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;

(Ⅲ)设为数列的前项和。是否存在实数,使得对任意正整数,都有?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由。

正确答案

(Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有a22=a1a3,即

矛盾.

所以{an}不是等比数列.

(Ⅱ)解:因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=(-1)n+1an-2n+14)

=(-1)n·(an-3n+21)=-bn

又b1x-(λ+18),所以

当λ=-18,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列:

当λ≠-18时,b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0,∴(n∈N+).

故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.

∴λ≠-18,故知bn= -(λ+18)·(-n-1,于是可得

Sn=-

要使a<Sn<b对任意正整数n成立,

即a<-(λ+18)·[1-(-n]<b(n∈N+

   ①

当n为正奇数时,1<f(n)

∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)=

于是,由①式得a<-(λ+18),<

当a<b3a时,由-b-18=-3a-18,不存在实数满足题目要求;

当b>3a存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a<Sn<b,且λ的取值范围是(-b-18,-3a-18)。

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知识点

由数列的前几项求通项

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