2019年高考真题 数学 (江苏卷)
精品
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填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

1.已知集合,则  ▲   .

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

2.已知复数的实部为0,其中为虚数单位,则实数a的值是  ▲   .

正确答案

2

1
题型:填空题
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分值: 5分

4.函数的定义域是  ▲   .

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

5.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是  ▲   .

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

7.在平面直角坐标系中,若双曲线经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是  ▲   .

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

8.已知数列是等差数列,是其前n项和.若,则的值是  ▲   .

正确答案

16

1
题型:填空题
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分值: 5分

9.如图,长方体的体积是120,E的中点,则三棱锥E-BCD的体积是  ▲   .

正确答案

10

1
题型:填空题
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分值: 5分

10.在平面直角坐标系中,P是曲线上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是  ▲   .

正确答案

4

1
题型:填空题
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分值: 5分

3.下图是一个算法流程图,则输出的S的值是  ▲   .

正确答案

5

1
题型:填空题
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分值: 5分

6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是  ▲   .

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

11.在平面直角坐标系中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是  ▲   .

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

12.如图,在中,DBC的中点,E在边AB上,BE=2EAADCE交于点.若,则的值是  ▲   .

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.设是定义在R上的两个周期函数,的周期为4,的周期为2,且是奇函数.当时,,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程有8个不同的实数根,则k的取值范围是  ▲   .

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.已知,则的值是  ▲   .

正确答案

简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 14分

15.(本小题满分14分)

在△ABC中,角ABC的对边分别为abc

(1)若a=3cb=,cosB=,求c的值;

(2)若,求的值.

正确答案

(1)因为

由余弦定理,得,即.

所以.

(2)因为

由正弦定理,得,所以.

从而,即,故.

因为,所以,从而.

因此.

1
题型:简答题
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分值: 14分

17.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:的焦点为F1(–1、0),

F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.

已知DF1=

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)求点E的坐标.

正确答案

1
题型:简答题
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分值: 16分

19.(本小题满分16分)

设函数fx)的导函数.

(1)若a=b=cf(4)=8,求a的值;

(2)若abb=c,且fx)和的零点均在集合中,求fx)的极小值;

(3)若,且fx)的极大值为M,求证:M

正确答案

(1)因为,所以

因为,所以,解得

(2)因为

所以

从而.令,得

因为,都在集合中,且

所以

此时

,得.列表如下:

所以的极小值为

(3)因为,所以

因为,所以

有2个不同的零点,设为

,得

列表如下:

所以的极大值

.因此

1
题型:简答题
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分值: 14分

16.(本小题满分14分)

如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,DE分别为BCAC的中点,AB=BC

求证:(1)A1B1∥平面DEC1;

(2)BEC1E

正确答案

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.

证明:(1)因为DE分别为BCAC的中点,

所以EDAB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABA1B1,

所以A1B1∥ED.

又因为ED⊂平面DEC1,A1B1平面DEC1,

所以A1B1∥平面DEC1.

(2)因为AB=BCEAC的中点,所以BEAC.

因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以CC1⊥平面ABC.

又因为BE⊂平面ABC,所以CC1⊥BE.

因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1,C1CAC=C

所以BE⊥平面A1ACC1.

因为C1E⊂平面A1ACC1,所以BEC1E.

1
题型:简答题
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分值: 16分

18.(本小题满分16分)

如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥ABAB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点PQ,并修建两段直线型道路PBQA.规划要求:线段PBQA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点AB到直线l的距离分别为ACBDCD为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).

(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;

(2)在规划要求下,PQ中能否有一个点选在D处?并说明理由;

(3)对规划要求下,若道路PBQA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,PQ两点间的距离.

正确答案

(1)过A,垂足为E.

由已知条件得,四边形ACDE为矩形,.'

因为PBAB

所以.

所以.

因此道路PB的长为15(百米).

(2)①若PD处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除BE)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.

②若QD处,连结AD,由(1)知

从而,所以∠BAD为锐角.

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此,Q选在D处也不满足规划要求.

综上,PQ均不能选在D处.

(3)先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;

当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点FOFOB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.

l上一点,且,由(1)知,B=15,

此时

当∠OBP>90°时,在中,.

由上可知,d≥15.

再讨论点Q的位置.

由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=时,d最小,此时PQ两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.

因此,d最小时,PQ两点间的距离为17+(百米).

1
题型:简答题
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分值: 16分

20.(本小满分16分)

定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.

(1)已知等比数列{an}满足:,求证:数列{an}为“M-数列”;

(2)已知数列{bn}满足:,其中Sn为数列{bn}的前n项和.

①求数列{bn}的通项公式;

②设m为正整数,若存在“M-数列”{cn},对任意正整数k,当km时,都有成立,求m的最大值.

正确答案

(1)设等比数列{an}的公比为q,所以a1≠0,q≠0.

,得,解得

因此数列为“M—数列”.

(2)①因为,所以

,则.

,得

时,由,得

整理得

所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.

因此,数列{bn}的通项公式为bn=n.

②由①知,bk=k.

因为数列{cn}为“M–数列”,设公比为q,所以c1=1,q>0.

因为ckbkck+1,所以,其中k=1,2,3,…,m.

k=1时,有q≥1;

k=2,3,…,m时,有

fx)=,则

,得x=e.列表如下:

因为,所以

,当k=1,2,3,4,5时,,即

经检验知也成立.

因此所求m的最大值不小于5.

m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,

所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.

综上,所求m的最大值为5.

1
题型:简答题
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分值: 20分

21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

`A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)

已知矩阵

(1)求A2;

(2)求矩阵A的特征值.

`B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在极坐标系中,已知两点,直线l的方程为.

(1)求AB两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.

`C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)

,解不等式.

正确答案

【选做题】

A.[选修4–2:矩阵与变换]

本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.

(1)因为

所以

==

(2)矩阵A的特征多项式为

.

,解得A的特征值.

B.[选修4–4:坐标系与参数方程]

本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.

(1)设极点为O.在△OAB中,A(3,),B),

由余弦定理,得AB=.

(2)因为直线l的方程为

则直线l过点,倾斜角为

,所以点B到直线l的距离为.

C.[选修4–5:不等式选讲]

本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.满分10分.

x<0时,原不等式可化为,解得x<–

当0≤x时,原不等式可化为x+1–2x>2,即x<–1,无解;

x>时,原不等式可化为x+2x–1>2,解得x>1.

综上,原不等式的解集为.

1
题型:简答题
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分值: 10分

22.(本小题满分10分)设.已知.

(1)求n的值;(2)设,其中,求的值.

正确答案

(1)因为

所以

因为

所以

解得

(2)由(1)知,

因为,所以

从而

1
题型:简答题
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分值: 10分

23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集

.从集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.

(1)当n=1时,求X的概率分布;

(2)对给定的正整数nn≥3),求概率PXn)(用n表示).

正确答案

(1)当时,的所有可能取值是

的概率分布为

(2)设是从中取出的两个点.

因为,所以仅需考虑的情况.

①若,则,不存在的取法;

②若,则,所以当且仅当,此时,有2种取法;

③若,则,因为当时,,所以当且仅当,此时,有2种取法;

④若,则,所以当且仅当,此时,有2种取法.

综上,当时,的所有可能取值是,且

因此,

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