数学 热门试卷

（1）设，则，，为偶函数，，．

（2），∵，

又，∴，即，∴在上为增函数．

（3）当时，在上是增函数，．（不合题意，舍去）

当时，，令，．

如下表：

∴在处取最大值．

当时，，在上单调递减，在无最大值．

∴存在，使在上有最大值1．

（1）因为，所以．

所以，即，即．

因为 ， 所以． 故，．

（2）由余弦定理，得

又，

而，（当且仅当时等号成立）

所以

当的面积取最大值时，．

又，故此时为等边三角形．

（1）当时 ，，即：；

（2）当时 ，，即：或；

（3）当时 ，，

若，则；若，则无解；若，则．

综上：原不等式的解集分别为

当时，；

若时，；

当时，

当时，；

当时，或．

（1）因为，所以，令

得：，此时，

则点到直线的距离为，

即，解之得或．

经检验知，为增解不合题意，故

（2）法一：不等式的解集中的整数恰有3个，

等价于恰有三个整数解，故，

令，由且，

所以函数的一个零点在区间，

则另一个零点一定在区间，

故解之得．

法二：恰有三个整数解，故，即，

，

所以，又因为，

所以，解之得．

（3） 设，则．

所以当时，；当时，．

因此时，取得最小值0，

则与的图象在处有公共点．

设与存在 “分界线”，方程为，

即，

由在恒成立，则在恒成立 ．

所以成立，因此．

下面证明恒成立．

设，则．

所以当时，；当时，．

因此时取得最大值0，则成立．

故所求“分界线”方程为：．

（1）甲恰好得30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，其概率为，

（2）的取值为0，10， 30，60．

，

，

的概率分布如下表：

（3）设甲恰好比乙多30分为事件，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件，

甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件，则，，为互斥事件．

．

所以，甲恰好比乙多30分的概率为