数学西城区2011年高三试卷

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单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

2．已知，，为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

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1．设，，给出四个图形，其中以集合为定义域，为值域的函数关系的是（）

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3．已知，，则等于（）

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4．函数的图象为，则下列论断中，正确论断的个数是（）

（1）图象关于直线对称；

（2）函数在区间内是增函数；

（3）由函数的图象向右平移个单位长度可以得到图象．

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5．已知等差数列的前项和为，若，且、、三点共线（该直线不过原点），则（）

A100

B101

C200

D201

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6．已知随机变量服从正态分布，，则（）

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7．一组抛物线，其中为2，4，6，8中任取的一个数，为1，3，5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（）

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8．函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则直线与函数图象的所有交点的横坐标之和是（）

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填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。

9．的值域为___________．

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11．由一条曲线（其中）与直线，以及轴所围成的曲边梯形的面积是______．

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12．已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若恒成立，则实数的取值范围是___________．

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13．在中，为边上一点，，，，若的面积为，则___________．

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14．定义映射，其中，．已知对所有的有序正整数对满足下述条件：

① ；

② 若，；

③ ．

则的值是___________；

的表达式为___________．（用含的代数式表示）．

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10．的展开式中，的系数是___________．

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简答题（综合题）本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．解关于的不等式．

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16．甲和乙参加智力答题活动，活动规则：

①答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题；

②每人最多答3个题；

③答对第一题得10分，第二题得20分，第三题得30分，答错得0分．

已知甲答对每个题的概率为，乙答对每个题的概率为．

（1）求甲恰好得30分的概率；

（2）设乙的得分为，求的分布列和数学期望；

（3）求甲恰好比乙多30分的概率．

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17．已知：向量与共线，其中是的内角．

（1）求：角的大小；

（2）若，求面积的最大值，并判断取得最大值时的形状．

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18．已知：如图，长方体中，、分别是棱，上的点，，。

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）证明平面；

（3）求二面角的正弦值．

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19．已知：函数是定义在上的偶函数，当时，（为实数）．

（1）当时，求的解析式；

（2）若，试判断在上的单调性，并证明你的结论；

（3）是否存在，使得当时，有最大值1？若存在，求出的值;若不存在，请说明理由．

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20．已知：函数，．

（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；

（2）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得不等式和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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