数学 西城区2011年高三试卷
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1. 设,给出四个图形,其中以集合为定义域,为值域的函数关系的是(     )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3. 已知,则等于(     )

A7

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

简单复合函数的导数
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5. 已知等差数列的前项和为,若,且三点共线(该直线不过原点),则(     )

A100

B101

C200

D201

正确答案

A

解析

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知识点

复合函数的单调性
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8. 函数的定义域为,且为奇函数,当时,,则直线与函数图象的所有交点的横坐标之和是(    )

A1

B2

C4

D5

正确答案

D

解析

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6. 已知随机变量服从正态分布,则(     )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

幂函数的图像
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2. 已知为非零的平面向量,甲:,乙:,则甲是乙的(     )

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

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1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4. 函数的图象为,则下列论断中,正确论断的个数是(     )

(1) 图象关于直线对称;

(2) 函数在区间内是增函数;

(3)由函数的图象向右平移个单位长度可以得到图象

A0

B1

C2

D3

正确答案

C

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知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7. 一组抛物线,其中为2,4,6,8中任取的一个数,为1,3,5,7中任取的一个数,从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

9. 的值域为___________.

正确答案

解析

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知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域
1
题型:填空题
|
分值: 5分

11.由一条曲线(其中)与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积是______.

正确答案

解析

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知识点

诱导公式的推导
1
题型:填空题
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分值: 5分

10.的展开式中,的系数是___________.

正确答案

1890

解析

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知识点

排列数公式的推导
1
题型:填空题
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分值: 5分

12.已知:定义在上的偶函数,当时为减函数,若恒成立,则实数 的取值范围是___________.

正确答案

解析

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知识点

函数的定义域及其求法
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.定义映射,其中. 已知对所有的有序正整数对满足下述条件:

② 若

的值是___________;

的表达式为___________.(用含的代数式表示).

正确答案

6;

解析

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知识点

幂函数的图像
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.在中,为边上一点,,若的面积为,则___________.

正确答案

解析

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知识点

导数的乘法与除法法则
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 14分

19.已知:函数是定义在上的偶函数,当时,为实数).

(1)当时,求的解析式;

(2)若,试判断上的单调性,并证明你的结论;

(3)是否存在,使得当时,有最大值1?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1)设,则为偶函数,

(2),∵

,∴,即,∴上为增函数.

(3)当时,上是增函数,.(不合题意,舍去)

时,,令

如下表:

处取最大值

时,上单调递减,无最大值.

∴存在,使上有最大值1.

解析

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知识点

指数函数的图像变换
1
题型:简答题
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分值: 13分

17.已知:向量共线,其中的内角.

(1)求:角的大小;

(2)若,求面积的最大值,并判断取得最大值时的形状.

正确答案

(1)因为,所以

所以,即,即

因为 , 所以. 故

(2)由余弦定理,得

,(当且仅当时等号成立)

所以

的面积取最大值时,

,故此时为等边三角形.

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知识点

导数的乘法与除法法则
1
题型:简答题
|
分值: 13分

15.解关于的不等式

正确答案

(1)当时 ,,即:

(2)当时 ,,即:

(3)当时 ,

,则;若,则无解;若,则

综上:原不等式的解集分别为

时,

时,

时,

时,

时,

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知识点

对数函数的定义
1
题型:简答题
|
分值: 14分

20.已知:函数

(1)若函数图象上的点到直线距离的最小值为,求的值;

(2)关于的不等式的解集中的整数恰有3个,求实数的取值范围;

(3)对于函数定义域上的任意实数,若存在常数,使得不等式都成立,则称直线为函数的“分界线”.设,试探究是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1)因为,所以,令

得:,此时

则点到直线的距离为

,解之得

经检验知,为增解不合题意,故

(2)法一:不等式的解集中的整数恰有3个,

等价于恰有三个整数解,故

,由

所以函数的一个零点在区间

则另一个零点一定在区间

解之得

法二:恰有三个整数解,故,即

所以,又因为

所以,解之得

(3) 设,则

所以当时,;当时,

因此时,取得最小值0,

的图象在处有公共点

存在 “分界线”,方程为

恒成立,则恒成立 .

所以成立,因此

下面证明恒成立.

,则

所以当时,;当时,

因此取得最大值0,则成立.

故所求“分界线”方程为:

解析

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知识点

导数的加法与减法法则
1
题型:简答题
|
分值: 13分

16.甲和乙参加智力答题活动,活动规则:

①答题过程中,若答对则继续答题;若答错则停止答题;

②每人最多答3个题;

③答对第一题得10分,第二题得20分,第三题得30分,答错得0分.

已知甲答对每个题的概率为,乙答对每个题的概率为

(1)求甲恰好得30分的概率;

(2)设乙的得分为,求的分布列和数学期望;

(3)求甲恰好比乙多30分的概率.

正确答案

(1)甲恰好得30分,说明甲前两题都答对,而第三题答错,其概率为

(2)的取值为0,10, 30,60.

的概率分布如下表:

(3)设甲恰好比乙多30分为事件,甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件

甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件,则为互斥事件.

所以,甲恰好比乙多30分的概率为

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知识点

弧度制的应用
1
题型:简答题
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分值: 13分

18.已知:如图,长方体中,分别是棱上的点,

(1)求异面直线所成角的余弦值;

(2)证明平面

(3)求二面角的正弦值.

正确答案

法一:

如图所示,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系,

依题意得

(1)易得

于是

所以异面直线所成角的余弦值为

(2)已知

于是

因此,,又

所以平面

(3) 设平面的法向量,则,即

不妨令,可得

由⑵可知,为平面的一个法向量.

于是,从而

所以二面角的正弦值为

法二:

(1)

,可得

连接,设交于点,易知

,可知

是异面直线所成的角,

易知

所以

所以异面直线所成角的余弦值为

(2)连接,设交点因为

所以,从而

又由于,所以

,又因为,所以平面,从而

连接,同理可证平面,从而

所以因为,所以平面

(3) 连接,由⑵可知平面

平面平面,所以

为二面角的平面角.

易知,所以

所以

中,

连接中,

所以

所以二面角正弦值为

解析

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知识点

幂函数的图像

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