数学 热门试卷

（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，

即，

故，

所以．

又，因此或．

（2）

．

因此，函数的值域是．

方法一：

（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．

又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．

所以BC⊥平面A1EF．

因此EF⊥BC．

（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．

由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．

由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，

所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．

连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）．

不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2，EG=.

由于O为A1G的中点，故，

所以．

因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是．

方法二：

（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．

如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz．

不妨设AC=4，则

A1（0，0，2），B（，1，0），，，C(0，2，0)．

因此，，．

由得．

（2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ．

由（1）可得．

设平面A1BC的法向量为n，

由，得，

取n，故，

因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为．

（1）设数列的公差为d，由题意得

，

解得．

从而．

所以，

由成等比数列得

．

解得．

所以．

（2）．

我们用数学归纳法证明．

（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；

（ii）假设时不等式成立，即．

那么，当时，

．

即当时不等式也成立．

根据（i）和（ii），不等式对任意成立．

（1）由题意得，即p=2.

所以，抛物线的准线方程为x=−1.

（2）设，重心.令，则.

由于直线AB过F，故直线AB方程为，代入，得

，

故，即，所以.

又由于及重心G在x轴上，故，得.

所以，直线AC方程为，得.

由于Q在焦点F的右侧，故.从而

.

令，则m>0，

.

当时，取得最小值，此时G（2，0）．