2019年高考真题 数学 (浙江卷)
精品
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单选题 本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 4分

4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是

A158

B162

C182

D324

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 4分

7.设0<a<1,则随机变量X的分布列是

则当a在(0,1)内增大时,

ADX)增大

BDX)减小

CDX)先增大后减小

DDX)先减小后增大

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 4分

8.设三棱锥VABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角PACB的平面角为γ,则

Aβ<γα<γ

Bβ<αβ<γ

Cβ<αγ<α

Dα<βγ<β

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 4分

10.设abR,数列{an}满足a1=aan+1=an2+b,则

Ab=时,a10>10

Bb=时,a10>10

Cb=–2时,a10>10

Db=–4时,a10>10

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 4分

1.已知全集,集合,则=

A

B

C

D

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 4分

2.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是

A

B1

C

D2

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 4分

3.若实数xy满足约束条件,则z=3x+2y的最大值是

A

B1

C10

D12

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 4分

5.若a>0,b>0,则“a+b≤4”是 “ab≤4”的

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 4分

6.在同一直角坐标系中,函数y =y=loga(x+)(a>0,且a≠1)的图象可能是

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 4分

9.已知,函数.若函数恰有3个零点,则

Aa<–1,b<0

Ba<–1,b>0

Ca>–1,b<0

Da>–1,b>0

正确答案

C
填空题 本大题共7小题,每小题6分,共42分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 6分

12.已知圆的圆心坐标是,半径长是.若直线与圆C相切于点,则=___________,=___________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 6分

13.在二项式的展开式中,常数项是___________,系数为有理数的项的个数是___________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 4分

16.已知,函数,若存在,使得,则实数的最大值是____.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 4分

11.复数为虚数单位),则=___________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 6分

14.在中,,点在线段上,若,则____,___________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 4分

15.已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方,若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是___________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 6分

17.已知正方形的边长为1,当每个取遍时,的最小值是___________,最大值是___________.

正确答案

简答题(综合题) 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 14分

18.(本小题满分14分)设函数.

(1)已知函数是偶函数,求的值;

(2)求函数的值域.

正确答案

(1)因为是偶函数,所以,对任意实数x都有

所以

,因此

(2)

因此,函数的值域是

1
题型:简答题
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分值: 15分

19.(本小题满分15分)如图,已知三棱柱,平面平面,分别是ACA1B1的中点.

(1)证明:

(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

正确答案

方法一:

(1)连接A1E,因为A1A=A1CEAC的中点,所以A1EAC

又平面A1ACC1⊥平面ABCA1E平面A1ACC1,

平面A1ACC1∩平面ABC=AC

所以,A1E⊥平面ABC,则A1EBC

又因为A1FAB,∠ABC=90°,故BCA1F

所以BC⊥平面A1EF

因此EFBC

(2)取BC中点G,连接EGGF,则EGFA1是平行四边形.

由于A1E⊥平面ABC,故A1EEG,所以平行四边形EGFA1为矩形.

由(1)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,

所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.

连接A1GEFO,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).

不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=2EG=.

由于OA1G的中点,故

所以

因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是

方法二:

(1)连接A1E,因为A1A=A1CEAC的中点,所以A1EAC.

又平面A1ACC1⊥平面ABCA1E平面A1ACC1,

平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC

如图,以点E为原点,分别以射线ECEA1为yz轴的正半轴,建立空间直角坐标系Exyz

不妨设AC=4,则

A1(0,0,2),B,1,0),C(0,2,0).

因此,

(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ

由(1)可得

设平面A1BC的法向量为n

,得

n,故

因此,直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为

1
题型:简答题
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分值: 15分

20.(本小题满分15分)设等差数列的前n项和为,数列满足:对每个成等比数列.

(1)求数列的通项公式;
(2)记 证明:

正确答案

(1)设数列的公差为d,由题意得

解得

从而

所以

成等比数列得

解得

所以

(2)

我们用数学归纳法证明.

(i)当n=1时,c1=0<2,不等式成立;

(ii)假设时不等式成立,即

那么,当时,

即当时不等式也成立.

根据(i)和(ii),不等式对任意成立.

1
题型:简答题
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分值: 15分

22.(本小题满分15分)

已知实数,设函数

(1)当时,求函数的单调区间;

(2)对任意均有 求的取值范围.

注:e=2.71828…为自然对数的底数.

正确答案

(1)由题意得,即p=2.

所以,抛物线的准线方程为x=−1.

(2)设,重心.令,则.

由于直线ABF,故直线AB方程为,代入,得

,即,所以.

又由于及重心Gx轴上,故,得.

所以,直线AC方程为,得.

由于Q在焦点F的右侧,故.从而

.

,则m>0,

.

时,取得最小值,此时G(2,0).

1
题型:简答题
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分值: 15分

21.(本小题满分15分)如图,已知点为抛物线的焦点,过点F的直线交抛物线于AB两点,点C在抛物线上,使得的重心Gx轴上,直线ACx轴于点Q,且Q在点F的右侧.记的面积分别为

(1)求p的值及抛物线的准线方程;

(2)求的最小值及此时点G的坐标.

正确答案

(1)由题意得,即p=2.

所以,抛物线的准线方程为x=−1.

(2)设,重心.令,则.

由于直线ABF,故直线AB方程为,代入,得

,即,所以.

又由于及重心Gx轴上,故,得.

所以,直线AC方程为,得.

由于Q在焦点F的右侧,故.从而

.

,则m>0,

.

时,取得最小值,此时G(2,0).

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