数学 热门试卷

（I）由正弦定理可得，即可求出；

（II）由余弦定理即可计算；

（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.

【详解】（I）因为，由正弦定理可得，

，；

（II）由余弦定理可得；

（III），，

，，

所以.

（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；

（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；

（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.

【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．

所以，所以，

所以；

设等比数列的公比为，

所以，解得（负值舍去），

所以；

（II）（i）由题意，，

所以，

所以，且，

所以数列是等比数列；

（ii）由题意知，，

所以，

所以，

设，

则，

两式相减得，

所以，

所以.

（I）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证；

（II）求出，由运算即可得解；

（III）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解.

【详解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，

则,,,,,,，

因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，

所以,,,

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

因为，所以，

因为平面，所以平面；

（II）由（1）得，，

设直线与平面所成角为，

则；

（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，

则，

所以二面角的正弦值为.

（1）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程；

（2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程.

【详解】（1）易知点、，故，

因为椭圆的离心率为，故，，

因此，椭圆的方程为；

（2）设点为椭圆上一点，

先证明直线的方程为，

联立，消去并整理得，，

因此，椭圆在点处的切线方程为.

在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，

直线的斜率为，所以，直线的方程为，

在直线的方程中，令，可得，即点，

因为，则，即，整理可得，

所以，，因为，，故，，

所以，直线的方程为，即.