2021年高考真题 数学 (天津卷)
精品
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单选题 本大题共9小题,每小题5分,共45分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设集合,则(    )

A

B

C

D

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.设,则abc的大小关系为(    )

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于AB两点,交双曲钱的渐近线于CD两点,若.则双曲线的离心率为(    )

A

B

C2

D3

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.已知,则“”是“”的(    )

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.函数的图像大致为(    )

A

B

C

D

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部,统计其评分数据,将所得400个评分数据分为8组:,并整理得到如下的频率分布直方图,则评分在区间内的影视作品数量是(    )

A20

B40

C64

D80

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在球面上,若球的体积为,两个圆锥的高之比为,则这两个圆锥的体积之和为(    )

A

B

C

D

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.若,则(    )

A

B

C1

D

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.设,函数,若在区间内恰有6个零点,则a的取值范围是(    )

A

B

C

D.

正确答案

A
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

10.i是虚数单位,复数_____________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

11.在的展开式中,的系数是__________.

正确答案

160

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,且交AB于点E且交AC于点F,则的值为____________;的最小值为____________.

正确答案

①. 1    ②.

1
题型:填空题
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分值: 5分

12.若斜率为的直线与y轴交于点A,与圆相切于点B,则____________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.若,则的最小值为____________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语,若一方猜对且另一方猜错,则猜对的一方获胜,否则本次平局.已知每次活动中,甲、乙猜对的概率分别为,且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响,各次活动也互不影响,则一次活动中,甲获胜的概率为____________;3次活动中,甲至少获胜2次的概率为______________

正确答案

①.     ②.

简答题(综合题) 本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 14分

16.(本小题满分14分)

,角所对的边分别为,已知

(I)求a的值;

(II)求的值;

(III)求的值.

正确答案

(I);(II);(III)

解析

(I)由正弦定理可得,即可求出;

(II)由余弦定理即可计算;

(III)利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值,再由两角差的正弦公式即可求出.

【详解】(I)因为,由正弦定理可得

(II)由余弦定理可得

(III)

所以.

1
题型:简答题
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分值: 15分

19.(本小题满分15分)

已知是公差为2的等差数列,其前8项和为64.是公比大于0的等比数列,

(I)求的通项公式;

(II)记.

(i)证明是等比数列;

(ii)证明

正确答案

(I);(II)(i)证明见解析;(ii)证明见解析.

解析

(I)由等差数列的求和公式运算可得的通项,由等比数列的通项公式运算可得的通项公式;

(II)(i)运算可得,结合等比数列的定义即可得证;

(ii)放缩得,进而可得,结合错位相减法即可得证.

【详解】(I)因为是公差为2的等差数列,其前8项和为64.

所以,所以

所以

设等比数列的公比为

所以,解得(负值舍去),

所以

(II)(i)由题意,

所以

所以,且

所以数列是等比数列;

(ii)由题意知,

所以

所以

两式相减得

所以

所以.

1
题型:简答题
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分值: 15分

17.(本小题满分15分)

如图,在棱长为2的正方体中,E为棱BC的中点,F为棱CD的中点.

(I)求证:平面

(II)求直线与平面所成角的正弦值.

(III)求二面角的正弦值.

正确答案

(I)证明见解析;(II);(III).

解析

(I)建立空间直角坐标系,求出及平面的一个法向量,证明,即可得证;

(II)求出,由运算即可得解;

(III)求得平面的一个法向量,由结合同角三角函数的平方关系即可得解.

【详解】(I)以为原点,分别为轴,建立如图空间直角坐标系,

,,,,,,

因为E为棱BC的中点,F为棱CD的中点,所以

所以,,,

设平面的一个法向量为

,令,则

因为,所以

因为平面,所以平面

(II)由(1)得,

设直线与平面所成角为

(III)由正方体的特征可得,平面的一个法向量为

所以二面角的正弦值为.

1
题型:简答题
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分值: 15分

18.(本小题满分15分)

已知椭圆的右焦点为F,上顶点为B,离心率为,且

(I)求椭圆的方程;

(II)直线l与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,过NBF垂直的直线交x轴于点P.若,求直线l的方程.

正确答案

(1);(2).

解析

(1)求出的值,结合的值可得出的值,进而可得出椭圆的方程;

(2)设点,分析出直线的方程为,求出点的坐标,根据可得出,求出的值,即可得出直线的方程.

【详解】(1)易知点,故

因为椭圆的离心率为,故

因此,椭圆的方程为

(2)设点为椭圆上一点,

先证明直线的方程为

联立,消去并整理得

因此,椭圆在点处的切线方程为.

在直线的方程中,令,可得,由题意可知,即点

直线的斜率为,所以,直线的方程为

在直线的方程中,令,可得,即点

因为,则,即,整理可得

所以,,因为,故

所以,直线的方程为,即.

1
题型:简答题
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分值: 16分

20.(本小题满分16分)

已知,函数

(I)求曲线在点处的切线方程:

(II)证明存在唯一的极值点

(III)若存在a,使得对任意成立,求实数b的取值范围.

正确答案

(I);(II)证明见解析;(III)

解析

(I)求出处的导数,即切线斜率,求出,即可求出切线方程;

(II)令,可得,则可化为证明仅有一个交点,利用导数求出的变化情况,数形结合即可求解;

(III)令,题目等价于存在,使得,即,利用导数即可求出的最小值.

【详解】(I),则

,则切线方程为

(II)令,则

,则

时,单调递减;当时,单调递增,

时,,当时,,画出大致图像如下:

所以当时,仅有一个交点,令,则,且

时,,则单调递增,

时,,则单调递减,

的极大值点,故存在唯一的极值点;

(III)由(II)知,此时

所以

若存在a,使得对任意成立,等价于存在,使得,即

时,单调递减,当时,单调递增,

所以,故

所以实数b的取值范围.

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