2021年高考真题数学 (天津卷)

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单选题本大题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

1．设集合，则（）

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2．已知，则“”是“”的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

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3．函数的图像大致为（）

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4．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（）

A20

B40

C64

D80

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5．设，则a，b，c的大小关系为（）

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6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（）

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7．若，则（）

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8．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（）

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9．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（）

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填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。

10．i是虚数单位，复数_____________．

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11．在的展开式中，的系数是__________．

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12．若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆相切于点B，则____________．

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13．若，则的最小值为____________．

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14．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．

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15．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．

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简答题（综合题）本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分14分）

在，角所对的边分别为，已知，．

（I）求a的值；

（II）求的值；

（III）求的值．

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17．（本小题满分15分）

如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．

（I）求证：平面；

（II）求直线与平面所成角的正弦值．

（III）求二面角的正弦值．

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18．（本小题满分15分）

已知椭圆的右焦点为F,上顶点为B,离心率为，且．

（I）求椭圆的方程；

（II）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若，求直线l的方程．

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19．（本小题满分15分）

已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．

（I）求和的通项公式；

（II）记.

（i）证明是等比数列；

（ii）证明

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20．（本小题满分16分）

已知，函数．

（I）求曲线在点处的切线方程：

（II）证明存在唯一的极值点

（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．

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