2021年高考真题 数学 (北京卷)
精品
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单选题 本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 4分

1. 已知集合,则(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

结合题意利用并集的定义计算即可.

【详解】由题意可得:,即.

故选:B.

1
题型: 单选题
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分值: 4分

2. 在复平面内,复数满足,则(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意可得:.

故选:D.

1
题型: 单选题
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分值: 4分

3. 已知是定义在上的函数,那么“函数上单调递增”是“函数上的最大值为”的(    )

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】若函数上单调递增,则上的最大值为

上的最大值为

比如

为减函数,在为增函数,

上的最大值为推不出上单调递增,

故“函数上单调递增”是“上的最大值为”的充分不必要条件,

故选:A.

1
题型: 单选题
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分值: 4分

4. 某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积为(    )

A

B4

C

D2

正确答案

A

解析

根据三视图可得如图所示的几何体(三棱锥),根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.

【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥

其侧面为等腰直角三角形,底面等边三角形,

由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,

故其表面积为

故选:A.

1
题型: 单选题
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分值: 4分

5. 双曲线过点,且离心率为,则该双曲线的标准方程为(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

分析可得,再将点代入双曲线的方程,求出的值,即可得出双曲线的标准方程.

【详解】,则,则双曲线的方程为

将点的坐标代入双曲线的方程可得,解得,故

因此,双曲线的方程为.

故选:A.

1
题型: 单选题
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分值: 4分

6. 是两个等差数列,其中为常值,,则(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由已知条件求出的值,利用等差中项的性质可求得的值.

【详解】由已知条件可得,则,因此,.

故选:B.

1
题型: 单选题
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分值: 4分

7. 函数,试判断函数的奇偶性及最大值(    )

A奇函数,最大值为2

B偶函数,最大值为2

C奇函数,最大值为

D偶函数,最大值为

正确答案

D

解析

由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性;利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.

【详解】由题意,,所以该函数为偶函数,

所以当时,取最大值.

故选:D.

1
题型: 单选题
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分值: 4分

8. 定义:24小时内降水在平地上积水厚度()来判断降雨程度.其中小雨(),中雨(),大雨(),暴雨(),小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,如图,则这天降雨属于哪个等级( )

A小雨

B中雨

C大雨

D暴雨

正确答案

B

解析

计算出圆锥体积,除以圆面的面积即可得降雨量,即可得解.

【详解】由题意,一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为,高为的圆锥,

所以积水厚度,属于中雨

故选:B.

1
题型: 单选题
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分值: 4分

9. 已知圆,直线,当变化时,截得圆弦长的最小值为2,则(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

先求得圆心到直线距离,即可表示出弦长,根据弦长最小值得出

【详解】由题可得圆心为,半径为2,

则圆心到直线的距离

则弦长为

则当时,弦长取得最小值为,解得.

故选:C.

1
题型: 单选题
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分值: 4分

10. 数列是递增的整数数列,且,则的最大值为(    )

A9

B10

C11

D12

正确答案

C

解析

使数列首项、递增幅度均最小,结合等差数列的通项及求和公式即可得解.

【详解】若要使n尽可能的大,则,递增幅度要尽可能小,

不妨设数列是首项为3,公差为1的等差数列,其前n项和为

所以n的最大值为11.

故选:C.

第二部分(非选择题共110分)

填空题 本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

11. 展开式中常数项为__________.

正确答案

解析

【详解】试题分析:的展开式的通项得常数项为.

教师点评

二项式定理.

1
题型:填空题
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分值: 5分

12. 已知抛物线,焦点为,点为抛物线上的点,且,则的横坐标是_______;作轴于,则_______.

正确答案

①. 5    ②.

解析

根据焦半径公式可求的横坐标,求出纵坐标后可求.

【详解】因为抛物线的方程为,故.

因为,解得,故

所以

故答案为:5,.

1
题型:填空题
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分值: 5分

13. ,则_______;_______.

正确答案

①. 0    ②. 3

解析

根据坐标求出,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.

【详解】

.

故答案为:0;3.

1
题型:填空题
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分值: 5分

14. 若点与点关于轴对称,写出一个符合题意的___.

正确答案

(满足即可)

解析

根据在单位圆上,可得关于轴对称,得出求解.

【详解】关于轴对称,

关于轴对称,

时,可取的一个值为.

故答案为:(满足即可).

1
题型:填空题
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分值: 5分

15. 已知函数,给出下列四个结论:

①若,则有两个零点;

,使得有一个零点;

,使得有三个零点;

,使得有三个零点.

以上正确结论得序号是_______.

正确答案

①②④

解析

可得出,考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形,利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.

【详解】对于①,当时,由,可得,①正确;

对于②,考查直线与曲线相切于点

对函数求导得,由题意可得,解得

所以,存在,使得只有一个零点,②正确;

对于③,当直线过点时,,解得

所以,当时,直线与曲线有两个交点,

若函数有三个零点,则直线与曲线有两个交点,

直线与曲线有一个交点,所以,,此不等式无解,

因此,不存在,使得函数有三个零点,③错误;

对于④,考查直线与曲线相切于点

对函数求导得,由题意可得,解得

所以,当时,函数有三个零点,④正确.

故答案为:①②④.

【点睛】思路点睛:已知函数的零点或方程的根的情况,求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题,求解此类问题的一般步骤:

(1)转化,即通过构造函数,把问题转化成所构造函数的零点问题;

(2)列式,即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式;

(3)得解,即由列出的式子求出参数的取值范围.

简答题(综合题) 本大题共85分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

16. 已知在中,

(1)求的大小;

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,并求出边上中线的长度.

;②周长为;③面积为

正确答案

(1);(2)答案不唯一,具体见解析.

解析

(1)由正弦定理化边为角即可求解;

(2)若选择①:由正弦定理求解可得不存在;

若选择②:由正弦定理结合周长可求得外接圆半径,即可得出各边,再由余弦定理可求;

若选择③:由面积公式可求各边长,再由余弦定理可求.

【详解】(1),则由正弦定理可得

,解得

(2)若选择①:由正弦定理结合(1)可得

矛盾,故这样的不存在;

若选择②:由(1)可得

的外接圆半径为

则由正弦定理可得

则周长

解得,则

由余弦定理可得边上的中线的长度为:

若选择③:由(1)可得,即

,解得

则由余弦定理可得边上的中线的长度为:

.

1
题型:简答题
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分值: 13分

17. 已知正方体,点中点,直线交平面于点

(1)证明:点的中点;

(2)若点为棱上一点,且二面角的余弦值为,求的值.

正确答案

(1)证明见解析;(2)

解析

(1)首先将平面进行扩展,然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论;

(2)建立空间直角坐标系,利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量,然后解方程即可求得实数的值.

【详解】(1)如图所示,取的中点,连结

由于为正方体,为中点,故

从而四点共面,即平面CDE即平面

据此可得:直线交平面于点

当直线与平面相交时只有唯一的交点,故点与点重合,

即点中点.

(2)以点为坐标原点,方向分别为轴,轴,轴正方形,建立空间直角坐标系

不妨设正方体的棱长为2,设

则:

从而:

设平面的法向量为:,则:

可得:

设平面的法向量为:,则:

可得:

从而:

则:

整理可得:,故舍去).

【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.

1
题型:简答题
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分值: 14分

18. 为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒.

(1)①若采用“10合1检测法”,且两名患者同一组,求总检测次数;

②已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为,定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X);

(2)若采用“5合1检测法”,检测次数Y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果).

正确答案

(1)①次;②分布列见解析;期望为;(2)见解析.

解析

(1)①由题设条件还原情境,即可得解;

②求出X的取值情况,求出各情况下的概率,进而可得分布列,再由期望的公式即可得解;

(2)求出,分类即可得解.

【详解】(1)①对每组进行检测,需要10次;再对结果为阳性的组每个人进行检测,需要10次;

所以总检测次数为20次;

②由题意,可以取20,30,

的分布列:

所以

(2)由题意,可以取25,30,设两名感染者在同一组的概率为p

时,

时,

时,.

1
题型:简答题
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分值: 15分

19. 已知函数

(1)若,求处切线方程;

(2)若函数处取得极值,求的单调区间,以及最大值和最小值.

正确答案

(1);(2)函数的增区间为,单调递减区间为,最大值为,最小值为.

解析

(1)求出的值,利用点斜式可得出所求切线的方程;

(2)由可求得实数的值,然后利用导数分析函数的单调性与极值,由此可得出结果.

【详解】(1)当时,,则

此时,曲线在点处的切线方程为,即

(2)因为,则

由题意可得,解得

,列表如下:

所以,函数的增区间为,单调递减区间为.

时,;当时,.

所以,.

1
题型:简答题
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分值: 15分

20. 已知椭圆过点,以四个顶点围成的四边形面积为

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点BC,直线ABACy=-3于点MN,直线ACy=-3于点N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范围.

正确答案

(1);(2)

解析

(1)根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,从而可求椭圆的标准方程.

(2)设,求出直线的方程后可得的横坐标,从而可得,联立直线的方程和椭圆的方程,结合韦达定理化简,从而可求的范围,注意判别式的要求.

【详解】(1)因为椭圆过,故

因为四个顶点围成的四边形的面积为,故,即

故椭圆的标准方程为:.

(2)

因为直线的斜率存在,故

故直线,令,则,同理.

直线,由可得

,解得.

,故,所以

综上,

1
题型:简答题
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分值: 15分

21. 定义数列:对实数p,满足:①;②;③

(1)对于前4项2,-2,0,1的数列,可以是数列吗?说明理由;

(2)若数列,求值;

(3)是否存在p,使得存在数列,对?若存在,求出所有这样的p;若不存在,说明理由.

正确答案

(1)不可以是数列;理由见解析;(2);(3)存在;

解析

(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列;

(2)由题意首先确定数列的前4项,然后讨论计算即可确定的值;

(3)构造数列,易知数列的,结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值.

【详解】(1)由性质③结合题意可知

矛盾,故前4项的数列,不可能是数列.

(2)性质①

由性质③,因此

,由性质②可知,即,矛盾;

,由,矛盾.

因此只能是.

又因为,所以.

,则

不满足,舍去.

,则前四项为:0,0,0,1,

下面用纳法证明

时,经验证命题成立,假设当时命题成立,

时:

,则,利用性质③:

,此时可得:

否则,若,取可得:

而由性质②可得:,与矛盾.

同理可得:

,有

,有

,又因为,有

即当时命题成立,证毕.

综上可得:.

(3)令,由性质③可知:

由于

因此数列数列.

由(2)可知:

因此,此时,满足题意.

【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”,“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.

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