2.已知
(
为虚数单位),则“
”是“
为纯虚数”的 ( )
正确答案
解析
充分性:当时,
是纯虚数;必要性:若
是纯虚数,则有
,所以
。因此选C。
考查方向
解题思路
分别从充分性和必要性证明。
易错点
充分性和必要性的正确理解以及纯虚数概念的理解。
5.已知点
满足
,目标函数
仅在点(1,0)处取得最小值,则
的范围为 ( )
正确答案
解析
做出可行域,将目标函数化为
,即将
平移,要使目标函数仅在(1,0)处取得最小值,则有斜率
,即
,因此选B。
考查方向
解题思路
做出可行域,再将目标函数化为,在可行域中平移,满足仅在点(1,0)处取得最小值即可。
易错点
可行域的正确作图以及目标函数平移。
9.在平面内,,若
则
的取值范围是 ( )
正确答案
解析
根据题意可知构成一个矩形
,以
所在的直线为坐标轴建立直角坐标系,如图设
,
,点O的坐标为
,则点P的坐标为
;
,由
,得
,则
,因为
,所以
,所以
,所以
①,又
,所以
,
所以,同理
,所以
②,由①知
,因为
,所以
。
考查方向
解题思路
由题意,构成一个矩形
,以
所在的直线为坐标轴建立直角坐标系,设
,
,点O的坐标为
,则点P的坐标为
求出的取值范围,再求
的取值范围。
易错点
数学建模思想的运用。
1.已知集合则
为 ( )
正确答案
解析
,
,所以
考查方向
解题思路
直接求解P,Q即可
易错点
①集合的正确化简。②交集的理解。
3.已知直线、
与平面
下列命题正确的是 ( )
正确答案
解析
对A,也可能相交和异面;对B,
也可能平行;对C,
也可能和
平行。因此选D.
考查方向
解题思路
逐个选项分析即可。
易错点
位置关系考虑不全面。
4.为了得到函数的图象,可以将函数
的图象 ( )
正确答案
解析
即为了得到,将
如何平移,显然将后者向左平移
个单位。因此选C
考查方向
解题思路
将函数含有的系数提出来即可以看出来平移的数量了。
易错点
平移变换要注意是在上加和减。
6.直线与圆
交于
两点,则
的面积为 ( )
正确答案
解析
因为圆心C到的距离为
,由几何法可知
,所以
的面积为。
考查方向
解题思路
根据几何法直接求解即可。
易错点
计算要准确无误。
7.设函数,若不等式
对任意实数
恒成立,则
的取值集合是( )
正确答案
解析
由题可知即求的大于等于后面的绝对值的最大值即可,令
,则当
时,
;当
,
;当
时,
;当
时,
,所以
有最大值
。
所以,即
,
。故选B。
考查方向
解题思路
根据题目要转化为求的大于等于后面的绝对值的最大值,进而求其最大值,最后直接解不等式即可。
易错点
①恒成立问题的转化②不等式的正确求解。
8.已知平面平面
,
,且
.
是正方形,在正方形
内部有一点
,满足
与平面
所成的角相等,则点
的轨迹长度为 ()
正确答案
解析
,所以MD=2AM,建立如图所示的坐标系,设
,则
,
,
,
,根据MD=2AM可得,
,即
,其表示以
为圆心以
为半径的圆,令
得
,因此
,所以M的轨迹长度为
,故选C。
考查方向
解题思路
根据,得出MD=2AM,然后建立平面直角坐标系,求出点M的轨迹方程即可。
易错点
不容易建立起数学模型。
10.若集合,则集合
中的元素个数是( )
正确答案
解析
由已知可得,因为
一奇一偶,即
,
,
共有2016种情况,所以集合A共有2016个元素。
考查方向
解题思路
先根据求和对集合A进行化简,然后再分析所有可能的情况。
易错点
分析不到位。
11.已知,
,则
的最大值是 .
正确答案
解析
由题可得,即
,所以
。
考查方向
解题思路
根据对数运算得出,再根据均值不等式即可求得
的最大值。
易错点
运算要准确无误。
12.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是,则正视图中的
的值是
,该几何体的表面积是
.
正确答案
解析
根据三视图可知该几何体为四棱锥,再利用体积公式求出高即可。
,所以
,表面积为
考查方向
解题思路
从俯视图很容易得出底面是个直角梯形,结合正视图知有一条棱垂直于底面的四棱锥。
易错点
不能够找到三视图对应的直观图。
13.设等比数列的前
项和为
,满足对任意的正整数
,均有
,则
,公比
.
正确答案
解析
由题可得,所以有
,即
;根据
可得
,即
,又因为
,所以
。
考查方向
解题思路
根据,可得
,即可求出公比,再根据
可得
,即可得
,进而求出首项。
易错点
计算要正确。
14.在中,角
分别对应边
,
为
的面积.已知
,
,
,则
,
.
正确答案
解析
根据正弦定理可得,即
,由余弦定理得
,将
代入可得
,又因为
,所以有
所以
,所以
,所以
,
。
考查方向
解题思路
正弦定理可得,即
,再由余弦定理得
,求出
,进而求出
,最后根据面积公式即可求解。
易错点
公式要熟练以及运算能力要跟上。
15.一个口袋里装有大小相同的6个小球,其中红色、黄色、绿色的球各2个,现从中任意取出3个小球,其中恰有2个小球同颜色的概率是 .若取到红球得1分,取到黄球得2分,取到绿球得3分,记变量为取出的三个小球得分之和,则
的期望为 .
正确答案
解析
3个小球颜色互不相同和恰有2个小球的颜色相同是对立事件,因此先求出3个小球颜色互不相同的概率为,则
即为所求。三个小球得分之和为4,5,6,7,8,对应的概率分别为
,所以得分和的数学期望为6
考查方向
解题思路
根据概率公式分清情况即可。
易错点
求概率分类要仔细。
16.设双曲线的右焦点为
,过点
作与
轴垂直的直线交两渐近线于
两点,且与双曲线在第一象限的交点为
,设
为坐标原点,若
,
,则双曲线的离心率
的值是 .$来&源:ziyuanku.com
正确答案
解析
双曲线的渐近线,焦点
,则
,
,因为
,所以
,所以
,
,所以
,
,又因为
,所以
,所以
。
考查方向
解题思路
求出A,P代入,得到
,
,再求出
,
,最后根据
可得离心率。
易错点
找到的关系式以及运算。
17.设函数的两个零点分别为
,且在区间
上恰好有两个正整数,则实数
的取值范围 .
正确答案
解析
函数的两个零点
,且在区间
上恰有两个正整数,所以
,得出
,再根据
且,所以有
的范围为
。
考查方向
解题思路
先根据函数的两个零点
可得,再根据在区间
上恰好有两个正整数,得
出,求解即可。
易错点
不容易得出两根差的取值范围。
(本小题满分14分)已知,函数
.
18.若
,求
的单调递增区间;
19.若的最大值是
,求
的值.
正确答案
,
解析
………… 3分
………… 5分
由,得
.
所以单调的单调递增区间为
,
. ………… 8分
考查方向
解题思路
将降次化同名得到
,再根据正弦函数的增区间即可得出。
易错点
三角函数的恒等变形要注意公式的正确应用。
正确答案
解析
由题意
由于函数的最大值为
,即
, ………… 12分
从而,又
,故
. ………… 14分
考查方向
解题思路
直接求解即可。
易错点
变形要正确运用公式。
(本小题满分15分)如图,在四棱锥中,底面
为梯形,
,
,
,
平面
,
分别是
的中点.
20.求证:平面
;
21.若与平面
所成的角为
,求线段
的长.
正确答案
平面
解析
连接交
与
,连接
.
因为为
的中点,
,
所以.
又因为,
所以四边形为平行四边形, ………… 2分
所以为
的中点,因为
为
的中点,
所以
. ………… 4分
又因为,
,资*源%库
所以平面
. ………… 6分
考查方向
解题思路
得出MN是中位线非常重要,进而再根据线面平行的判定定理即可。
易错点
不容易在面中找到一条线和PD平行。
正确答案
解析
由四边形为平行四边形,知
,
所以为等边三角形,所以
, ………… 8分
所以,即
,即
.
因为平面
,所以
.
又因为,所以
平面
, ………… 11分
所以为
与平面
所成的角,即
, ………… 13分
所以. ………… 15分
考查方向
解题思路
找出为
与平面
所成的角,即可。
易错点
直线和平面所成角的正确寻找。
(本小题满分15分)已知,函数
.
22.若函数在
上递减, 求实数
的取值范围;
23.当时,求
的最小值
的最大值;
24.设,求证:
.
正确答案
解析
函数在
上递减
, 恒有
成立,
而,恒有
成立,资*源%库
而, 则
满足条件. ……4分
考查方向
解题思路
根据函数在
上递减
, 恒有
成立,即可转化为
,恒有
成立。
易错点
计算要准确无误。
正确答案
的最大值为
解析
当时,
Ziyuanku.com
的最小值
=
……7分
的最大值为
……9分
考查方向
解题思路
根据导数求出函数的最大值
,进而再用导数求出,,资*源
的最大值。
易错点
①注意定义域②最大值的正确求解。
正确答案
.
解析
当
时,
所以在
上是增函数,故
当时,
解得或
,
综上所述: ……15分
考查方向
解题思路
分情况去掉绝对值,再求解的最小值。
易错点
导数在恒成立问题中的运用。
(本小题满分15分)已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,直线
与
的两个交点间的距离为
.
25.求椭圆的方程;
26.分别过作
满足
,设
与
的上半部分分别交于
两点,求四边形
面积的最大值.
正确答案
解析
易知椭圆过点,所以
, ① 2分
又, ② ………… 3分
, ③ ………… 4分
①②③得,
,
所以椭圆的方程为. ………… 6分
考查方向
解题思路
代入点的坐标直接求解即可。
易错点
计算要准确无误。
正确答案
面积的最大值为3
解析
设直线,它与
的另一个交点为
.
与联立,消去
,得
, ………… 7分
.
, ………… 9分
又到
的距离为
, ………… 10分
所以. ………… 11分
令,则
,所以当
时,最大值为3. ………… 14分
又
所以四边形面积的最大值为3. …………
考查方向
解题思路
设出直线,利用弦长公式直接求解可得面积的表达式,再利用均值不等式即可求得面积的最大值。
易错点
要能够表示出面积,再准确的计算出其最大值。
(本小题满分15分)已知函数.
27.求方程的实数解;
28.如果数列满足
,
(
),是否存在实数
,使得
对所有的
都成立?证明你的结论.
29.在28的条件下,设数列的前
项的和为
,证明:
.
正确答案
解析
;
考查方向
解题思路
方程的实数解直接求解即可。
易错点
运算注意准确。
正确答案
存在使得
.
解析
存在使得
.
证法1:因为,当
时,
单调递减,所以
.因为
,所以由
得
且
.下面用数学归纳法证明
.
因为,所以当
时结论成立.
假设当时结论成立,即
.由于
为
上的减函数,所以
,从而
,
因此,
即.
综上所述,对一切,
都成立,
即存在使得
. ……10分
证法2:,且
是以
为首项,
为公比的等比数列.
所以.
易知,所以当
为奇数时,
;当
为偶数时,
即存在,使得
.
考查方向
解题思路
用数学归纳法证明即可。
易错点
数学归纳法的基本步骤的正确应用。
正确答案
解析
证明:由28,我们有,从而
.
设,则由
得
.
由于,
因此n=1,2,3时,成立,左边不等式均成立.
当n>3时,有,
因此.
从而.即
. ……15分
解法2: 由28可知,所以
,所以
所以
所以当为偶数时,
;所以当
为奇数时,
即.(其他解法酌情给分)
考查方向
解题思路
由28,我们有,从而
,设
,则由
得
.n=1,2,3时,
成立,
当n>3时,有,因此
易错点
不等式证明过程中的放缩问题。