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数学 杭州市2017年高三第一次选考模拟考试
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数学 热门试卷

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试卷目录
1、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2、填空题
11
12
13
14
15
16
17
3、简答题
18
19
20
21
22
  • 真题试卷
  • 模拟试卷
单选题 本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。
1
题型： 单选题
|
分值: 4分

2．已知（为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的 （  ）

A充分不必要条件

B必要不充分条件  $来&源：ziyuanku.com

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件ziyuanku.com

正确答案

C

解析

充分性：当时，是纯虚数；必要性：若是纯虚数，则有，所以。因此选C。

考查方向

充分必要条件。

解题思路

分别从充分性和必要性证明。

易错点

充分性和必要性的正确理解以及纯虚数概念的理解。

1
题型： 单选题
|
分值: 4分

5．已知点满足，目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，则的范围为  （  ）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

做出可行域，将目标函数化为，即将平移，要使目标函数仅在（1,0）处取得最小值，则有斜率，即，因此选B。

考查方向

简单线性规划。

解题思路

做出可行域，再将目标函数化为，在可行域中平移，满足仅在点（1,0）处取得最小值即可。

易错点

可行域的正确作图以及目标函数平移。

1
题型： 单选题
|
分值: 4分

9．在平面内，，若则的取值范围是  （  ）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

根据题意可知构成一个矩形，以所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，如图设，，点O的坐标为，则点P的坐标为；，由，得，则，因为,所以，所以

，所以①，又，所以，

所以，同理，所以②，由①知，因为，所以。

考查方向

向量的综合问题。

解题思路

由题意，构成一个矩形，以所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，设，，点O的坐标为，则点P的坐标为

求出的取值范围，再求的取值范围。

易错点

数学建模思想的运用。

1
题型： 单选题
|
分值: 4分

1．已知集合则为               （  ）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

，，所以

考查方向

不等式的交集运算。

解题思路

直接求解P,Q即可

易错点

①集合的正确化简。②交集的理解。

1
题型： 单选题
|
分值: 4分

3．已知直线、与平面下列命题正确的是  （  ）

A且

B且

C且

D且

正确答案

D

解析

对A，也可能相交和异面；对B，也可能平行；对C，也可能和平行。因此选D.

考查方向

空间中的的线面的位置关系。

解题思路

逐个选项分析即可。

易错点

位置关系考虑不全面。

1
题型： 单选题
|
分值: 4分

4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象             （  ）

A向左平移个单位长度

B向右平移个单位长度

C向左平移个单位长度

D向右平移个单位长度

正确答案

C

解析

即为了得到，将如何平移，显然将后者向左平移个单位。因此选C

考查方向

三角函数的图像平移变换。

解题思路

将函数含有的系数提出来即可以看出来平移的数量了。

易错点

平移变换要注意是在上加和减。

1
题型： 单选题
|
分值: 4分

6．直线与圆交于两点，则的面积为    （  ）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

因为圆心C到的距离为，由几何法可知，所以

的面积为。

考查方向

直线和圆的关系中，三角形面积的求解问题。

解题思路

根据几何法直接求解即可。

易错点

计算要准确无误。

1
题型： 单选题
|
分值: 4分

7.设函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值集合是（  ）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由题可知即求的大于等于后面的绝对值的最大值即可，令，则当时，；当，；当时，；当时，，所以有最大值。

所以，即，。故选B。

考查方向

绝对值不等式的解法。

解题思路

根据题目要转化为求的大于等于后面的绝对值的最大值，进而求其最大值，最后直接解不等式即可。

易错点

①恒成立问题的转化②不等式的正确求解。

1
题型： 单选题
|
分值: 4分

8．已知平面平面，，且.是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为  ()

A

B

C

D

正确答案

C

解析

,所以MD=2AM,建立如图所示的坐标系，设，则，，，，根据MD=2AM可得，，即，其表示以为圆心以为半径的圆，令得，因此，所以M的轨迹长度为，故选C。

考查方向

轨迹方程的求解。

解题思路

根据,得出MD=2AM，然后建立平面直角坐标系，求出点M的轨迹方程即可。

易错点

不容易建立起数学模型。

1
题型： 单选题
|
分值: 4分

10．若集合，则集合中的元素个数是（  ）

A2016

B2017

C2018

D2019

正确答案

A

解析

由已知可得，因为一奇一偶，即，，共有2016种情况，所以集合A共有2016个元素。

考查方向

集合的综合知识。

解题思路

先根据求和对集合A进行化简，然后再分析所有可能的情况。

易错点

分析不到位。

填空题 本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填写在题中横线上。
1
题型：填空题
|
分值: 5分

11．已知，，则的最大值是      .

正确答案

解析

由题可得，即，所以。

考查方向

对数的运算以及最值问题。

解题思路

根据对数运算得出，再根据均值不等式即可求得的最大值。

易错点

运算要准确无误。

1
题型：填空题
|
分值: 5分

12．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是       ，该几何体的表面积是       .

正确答案

解析

根据三视图可知该几何体为四棱锥，再利用体积公式求出高即可。

，所以，表面积为

考查方向

根据三视图求几何体的体积和表面积问题。

解题思路

从俯视图很容易得出底面是个直角梯形，结合正视图知有一条棱垂直于底面的四棱锥。

易错点

不能够找到三视图对应的直观图。

1
题型：填空题
|
分值: 5分

13．设等比数列的前项和为，满足对任意的正整数，均有，则       ，公比       .

正确答案

解析

由题可得，所以有，即；根据可得，即，又因为，所以。

考查方向

等比数列及前项和。

解题思路

根据，可得，即可求出公比，再根据可得，即可得，进而求出首项。

易错点

计算要正确。

1
题型：填空题
|
分值: 5分

14．在中，角分别对应边，为的面积.已知，，，则       ，       .

正确答案

解析

根据正弦定理可得,即，由余弦定理得，将代入可得，又因为

，所以有所以,所以，所以，。

考查方向

主要考察正余弦定理的应用。

解题思路

正弦定理可得,即，再由余弦定理得，求出，进而求出，最后根据面积公式即可求解。

易错点

公式要熟练以及运算能力要跟上。

1
题型：填空题
|
分值: 5分

15．一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个，现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球同颜色的概率是       .若取到红球得1分，取到黄球得2分，取到绿球得3分，记变量为取出的三个小球得分之和，则的期望为   .

正确答案

解析

3个小球颜色互不相同和恰有2个小球的颜色相同是对立事件，因此先求出3个小球颜色互不相同的概率为，则即为所求。三个小球得分之和为4，5，6，7，8，对应的概率分别为，所以得分和的数学期望为6

考查方向

概率和数学期望。

解题思路

根据概率公式分清情况即可。

易错点

求概率分类要仔细。

1
题型：填空题
|
分值: 5分

16．设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率的值是       .$来&源：ziyuanku.com

正确答案

解析

双曲线的渐近线，焦点，则，，因为

，所以，所以，，所以，，又因为，所以，所以。

考查方向

双曲线的离心率求解。

解题思路

求出A,P代入，得到，，再求出

，，最后根据可得离心率。

易错点

找到的关系式以及运算。

1
题型：填空题
|
分值: 6分

17．设函数的两个零点分别为，且在区间上恰好有两个正整数，则实数的取值范围     .

正确答案

解析

函数的两个零点，且在区间上恰有两个正整数，所以，得出，再根据

且，所以有的范围为。

考查方向

函数的零点与根的分布以及解不等式。

解题思路

先根据函数的两个零点

可得，再根据在区间上恰好有两个正整数，得

出，求解即可。

易错点

不容易得出两根差的取值范围。

简答题（综合题） 本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型：简答题
|
分值: 14分

（本小题满分14分）已知，函数．

18.若，求的单调递增区间；

19.若的最大值是，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

，

解析

           ………… 3分

                 ………… 5分

由，得．

所以单调的单调递增区间为，.  ………… 8分

考查方向

三角函数的恒等变形以及单调区间的求解。

解题思路

将降次化同名得到，再根据正弦函数的增区间即可得出。

易错点

三角函数的恒等变形要注意公式的正确应用。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题意

由于函数的最大值为，即

，           ………… 12分

从而，又，故

．                         ………… 14分

考查方向

三角函数求解以及运算能力

解题思路

直接求解即可。

易错点

变形要正确运用公式。

1
题型：简答题
|
分值: 15分

（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面，分别是的中点.

20.求证：平面；

21.若与平面所成的角为，求线段的长.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

平面

解析

连接交与，连接.

因为为的中点，，

所以.

又因为，

所以四边形为平行四边形，                            ………… 2分

所以为的中点，因为为的中点，

所以.                                             ………… 4分

又因为，，资*源%库

所以平面.                                      ………… 6分

考查方向

线面平行的证明。

解题思路

得出MN是中位线非常重要，进而再根据线面平行的判定定理即可。

易错点

不容易在面中找到一条线和PD平行。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由四边形为平行四边形，知，

所以为等边三角形，所以，                    ………… 8分

所以，即，即.

因为平面，所以.

又因为，所以平面，                   ………… 11分

所以为与平面所成的角，即，       ………… 13分

所以.                                                ………… 15分

考查方向

直线和平面所成的角。

解题思路

找出为与平面所成的角，即可。

易错点

直线和平面所成角的正确寻找。

1
题型：简答题
|
分值: 15分

（本小题满分15分）已知，函数.

22.若函数在上递减, 求实数的取值范围；

23.当时，求的最小值的最大值；

24.设，求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

函数在上递减, 恒有成立,

而,恒有成立,资*源%库

而, 则满足条件.                                          ……4分

考查方向

导数与单调性的关系。

解题思路

根据函数在上递减, 恒有成立，即可转化为,恒有成立。

易错点

计算要准确无误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

的最大值为

解析

当时,

Ziyuanku.com

的最小值=                             ……7分

的最大值为                                         ……9分

考查方向

函数最大值的求法。

解题思路

根据导数求出函数的最大值，进而再用导数求出,,资*源的最大值。

易错点

①注意定义域②最大值的正确求解。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

当时，

所以在上是增函数，故

当时，

解得或，

综上所述：                                            ……15分

考查方向

恒成立问题。

解题思路

分情况去掉绝对值，再求解的最小值。

易错点

导数在恒成立问题中的运用。

1
题型：简答题
|
分值: 15分

（本小题满分15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线与的两个交点间的距离为.

25.求椭圆的方程；

26.分别过作满足，设与的上半部分分别交于两点，求四边形面积的最大值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

易知椭圆过点，所以， ①  2分

又，      ②                                     ………… 3分

，   ③                                     ………… 4分

①②③得，，

所以椭圆的方程为.                            ………… 6分

考查方向

求椭圆的方程。

解题思路

代入点的坐标直接求解即可。

易错点

计算要准确无误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

面积的最大值为3

解析

设直线，它与的另一个交点为.

与联立，消去，得，          ………… 7分

.

，               ………… 9分

又到的距离为，                       ………… 10分

所以.                               ………… 11分

令，则，所以当时，最大值为3. ………… 14分

又

所以四边形面积的最大值为3.                                …………

考查方向

圆锥曲线中有关面积最大值问题的求解。

解题思路

设出直线，利用弦长公式直接求解可得面积的表达式，再利用均值不等式即可求得面积的最大值。

易错点

要能够表示出面积，再准确的计算出其最大值。

1
题型：简答题
|
分值: 15分

（本小题满分15分）已知函数.

27.求方程的实数解；

28.如果数列满足，（），是否存在实数，使得对所有的都成立？证明你的结论．

29.在28的条件下，设数列的前项的和为，证明：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

；

考查方向

解方程。

解题思路

方程的实数解直接求解即可。

易错点

运算注意准确。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

存在使得.

解析

存在使得．

证法1：因为，当时，单调递减，所以．因为，所以由得且．下面用数学归纳法证明．

因为，所以当时结论成立．

假设当时结论成立，即．由于为上的减函数，所以，从而，

因此，

即．

综上所述，对一切，都成立，

即存在使得．                                ……10分

证法2：，且

是以为首项，为公比的等比数列.

所以.

易知，所以当为奇数时，；当为偶数时，

即存在，使得.

考查方向

数学归纳法。

解题思路

用数学归纳法证明即可。

易错点

数学归纳法的基本步骤的正确应用。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

证明：由28，我们有，从而.

设，则由得.

由于，

因此n=1，2，3时，成立，左边不等式均成立．

当n>3时，有，

因此．

从而．即．                    ……15分

解法2: 由28可知，所以

，所以

所以

所以当为偶数时，；所以当为奇数时，

即.(其他解法酌情给分)

考查方向

数列的综合。

解题思路

由28，我们有，从而，设，则由得.n=1，2，3时，成立，

当n>3时，有，因此

易错点

不等式证明过程中的放缩问题。

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知道啦