2024年高考真题数学 (上海卷)

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填空题
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试卷目录

1、填空题

2、单选题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷

填空题本大题共12小题，每小题4分，共48分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

设全集，集合，则

正确答案

解析

本题主要考察了补集的概念。

两个集合联立可得

题型：填空题

分值: 4分

已知，则

正确答案

解析

本题主要考察了分段函数的知识点。

将3代入，因为x大于0，所以得.

题型：填空题

分值: 4分

已知则不等式的解集为______．

正确答案

解析

本题主要考察了一元二次不等式的求解。

方程的解为或，

故不等式的解集为，

故答案为：

题型：填空题

分值: 4分

已知，，且是奇函数，则______．

正确答案

解析

本题主要考察了奇函数的性质。

由题可知，F(0)=0，则a=0

故答案为：0.

题型：填空题

分值: 4分

已知，且，则k的值为______．

正确答案

解析

本题主要考察了平面向量平行的性质。

根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

，解得

故答案为：15．

题型：填空题

分值: 4分

在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．

正确答案

解析

本题主要考察了二项式定理的知识点。

由题可知，展开式中各项系数的和是,所以n=5,该二项式的通项公式是

,令，得.

题型：填空题

分值: 5分

已知抛物线上有一点P到准线的距离为9，那么点P到轴的距离为______．

正确答案

解析

本题主要考察了抛物线的定义以及抛物线方程的应用。

设P坐标为,P到准线的距离为9，即代入抛物线方程，可得,则P到轴的距离为

题型：填空题

分值: 5分

某校举办科学竞技比赛，有3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．

正确答案

解析

本题主要考察了全概率公式的应用。

由题可知，A题库占比为B题库占比为C题库占比为

题型：填空题

分值: 5分

已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．

正确答案

解析

本题主要考察了复数的概念以及复数的运算。其中涉及到虚数的实部、复数的加、除法运算，还有根据复数为实数的条件来求解参数等知识点。

设,

因为,所以,解得,所以

题型：填空题

分值: 5分

设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．

正确答案

329

解析

本题主要考察了排列组合以及集合的性质这两个知识点。

由题可知，集合中每个元素都互异的，且元素中最多有一个奇数，剩余全是偶数先研究集合中无重复数字的三位偶数：
(1)若个位为0，这样的偶数有种；
(2)若个位不为0，这样的偶数有种，
所以集合元索个数最大值为256+72+1=329种.

题型：填空题

分值: 5分

已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则(精确到0.1度)

正确答案

解析

本题主要考察了三角形的内角定理、外角性质以及特殊角的三角函数等知识点。

不妨设,则所以在中，①

在中，②
在中，③
①②③联立

题型：填空题

分值: 5分

无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数n集合是闭区间，则q的取值范围是______．

正确答案

解析

本题主要考察了无穷等比数列的性质、集合的概念以及区间的相关知识。

由题不妨设,若均在,则有,若均在,则有,若分别在两个区间则,又因为,总有是闭区间，则恒成立即可，化简得,所以有恒成立.

单选题本大题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 4分

已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）

A气候温度高，海水表层温度就高

B气候温度高，海水表层温度就低

C随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势

D随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

正确答案

解析

本题主要考察了相关系数的意义以及对数据变化趋势的理解。通过相关系数的正负来判断两个变量之间变化趋势的一致性或相反性。同时也涉及到对气候温度和海水表层温度关系的分析推理能力。

对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.

对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，

故C正确，D错误.

故选：C.

题型：单选题

分值: 4分

下列函数的最小正周期是的是（）

正确答案

解析

本题主要考察了三角函数的化简、三角函数的周期性这些知识点。

对于A,，则,满足条件，故A正确；对于B，，则,不满足条件，故B错误；对于C,为常值函数，则不存在最小正周期，不满足条件，故C错误；对于D,，则不满足条件，D错误；故答案选A.

题型：单选题

分值: 5分

定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（）

正确答案

解析

本题主要考察了空间向量以及集合的相关知识点。

因为不全为0，所以三个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，又因为所以对于,三者可以构成一组基，故不能推出故A错误；
对于B,若（1,0,0），（-1,0,0）均属于且（1,0,0）,（-1,0,0）共线，所以可以属于此时三者不共面。故B错误；对于C,显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出故C正确；对于,三者无法构成一组基，故不能推出

故D错误，故答案选C.

题型：单选题

分值: 5分

已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）

A存在是偶函数

B存在在处取最大值

C存在是严格增函数

D存在在处取到极小值

正确答案

解析

本题主要考察了函数的定义域、单调性、奇偶性、极值以及最值等知识点。同时还需要对集合的概念有深入理解，通过集合来描述函数的一些性质。

时，又因为所以当

且时，恒成立，说明在上，函数单调递增，故A错误：对于且在上，函数单调递增，故函数在

上最大值为若数在时，则M的集合不会是所以在1处取到极大值，在2处不一定取最大值，故B错误；
对于C,在时,若函数严格增，则集合M的取值不会是而是全体定义域，故C错误.
对于D,因为当时，所以-1左侧不是单调递减，若左侧单调递增，或者在某一段单调递增，则M的集合不会是,所以在-1左侧相邻一段是常函数，又因为在上，函数单调递增，故D正确

简答题（综合题）本大题共78分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 14分

如图为正四棱锥为底面ABCD的中心．

（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；

（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．

正确答案

（1）

（2）

解析

本题主要考察了正四棱锥的性质、圆锥的体积计算、空间直角坐标系的建立、利用空间向量求线面角等知识点。

(1)因为是正四棱锥，所以底面是正方形，且底面,
因为,所以
因为,所以
所以绕旋转一周形城的几何体是以3为底面半径，4为高的圆锥，
所以

（2）如图建立空间直角坐标，因为.由题知是正四棱锥，所以该四棱锥各棱长相等，设

则
则可得
故
设为平面的法向量，则

令则所以

则=

设直线BD与平面所成角为因为，，
所以.

题型：简答题

分值: 14分

若．

（1）过（4,2），求的解集；

（2）存在使得成等差数列，求a的取值范围．

正确答案

（1）

（2）

解析

本题主要考察了对数函数的性质，包括对数函数过定点、单调性，以及等差数列的概念，还有方程有解问题等知识点。

(1)由过(4.2)可得,则又a>0,故a=2,因为在上是严格增函数,所以解集为(1,2).

(2)因为成等差数列，所以

即有解，化简可得得，且，则在上有解，又故在上，
,即或,又,所以.

题型：简答题

分值: 14分

为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？

（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）

（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？

（附：其中，．）

正确答案

（1）12500

（2）0.9h

（3）学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关。

解析

题主要考察了统计相关的知识点，包括通过样本数据计算比例来估计总体情况；计算样本的平均值来估计总体的平均时长；以及通过独立性检验来判断两个变量之间是否有关联。

(1)580人中体育锻炼时长不小于1小时人数占比，该地区29000名初中学生中体育锻炼时长不小于1小时的人数约为人。
(2)

(3)

①提出原假设成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关。

②确定显著性水平
③
④否定原假设，即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时但小于2小时有关。

题型：简答题

分值: 18分

已知双曲线左右顶点分别为过点的直线交双曲线于两点.

（1）若离心率时，求的值．

（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．

（3）连接并延长，交双曲线于点R，若，求b的取值范围．

正确答案

（1）

（2）

（3）

解析

本题主要考察了双曲线的性质，如离心率、顶点坐标等，还涉及到直线与双曲线的位置关系，以及等腰三角形的性质、向量的数量积等知识点。

(1)因为,即,所以因为,所以
因为所以所以(负舍)
(2)因为为等腰三角形
①若为底，则点P在直线时。与P在第一象限矛盾，故舍去
②若为底，则,与矛盾，故舍去.
③若为底，则设
则,即，又因为
得,得，得即

(3)由设则设直线

联立，则

，又由得即

，即
化简后可得到
再由韦达定理得化简

所以.

题型：简答题

分值: 18分

对于一个函数和一个点，令，若取到最小值的点，则称是在的“最近点”．

（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；

（2）对于请判断是否存在一个点P，它是M在的“最近点”，且直线MP与在点P处的切线垂直；

（3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点若对任意的存在点O同时是在的“最近点”，试判断的单调性．

正确答案

（1）证明见解析

（2）存在，

（3）严格单调递减

解析

本题主要考察了函数的最值、导数的应用、新定义问题等知识点。

(1)证明当且仅当即时取到最小值，所以对于点存在点使得P是M在的最近点.
(2)

所以当时，取到最小值，此时点在点P处的切为此时所以存在点P（0,1）使得直线MP于在点处的切线垂直.
(3)对于的且其有导数恒取正值，,对于,都存在对应的P使得为到的最近值，为到的最近值，和的单调性。为定义在上可导，对于,则取到最小值是对应的.,P点处切线.引理：设为定义在R函数具有导函数，对于,则取到最小值时对应的的切线满足.

引理证明:,故

当在处取得最小值时，有则又处切线斜率故,引理证毕对于

取中点若对应的P与N不重合(p为到最近时对应的点)则

由三角形两边之和大于第三边，知矛盾！故P与N重合又即对都有所以严格单调递减.

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