2020年高考真题 数学 (天津卷)
精品
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单选题 本大题共9小题,每小题5分,共45分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.设,则“”是“”的

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.设全集,集合,则

A

B

C

D

正确答案

C
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.函数的图象大致为

A

B

C

D

正确答案

A
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为

A

B

C

D

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.设双曲线的方程为,过抛物线的焦点和点的直线为.若的一条渐近线与平行,另一条渐近线与垂直,则双曲线的方程为

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.设,则的大小关系为

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.已知函数若函数恰有4个零点,则的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:),将所得数据分为9组:

,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间内的个数为

A10

B18

C20

D36

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.已知函数.给出下列结论:

的最小正周期为

的最大值;

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数的图象.

其中所有正确结论的序号是

A

B①③

C②③

D①②③

正确答案

B
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

10.是虚数单位,复数_________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

11.在的展开式中,的系数是_________.

正确答案

10

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.

正确答案

1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.已知,且,则的最小值为_________.

正确答案

4

1
题型:填空题
|
分值: 5分

12.已知直线和圆相交于两点.若,则的值为_________.

正确答案

5

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.如图,在四边形中,,且,则实数的值为_________,若是线段上的动点,且,则的最小值为_________.

正确答案

简答题(综合题) 本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 14分

16.(本小题满分14分)

中,角所对的边分别为.已知

(Ⅰ)求角的大小;

(Ⅱ)求的值;

(Ⅲ)求的值.

正确答案

(Ⅰ)在中,由余弦定理及,有.又因为,所以

(Ⅱ)在中,由正弦定理及,可得

(Ⅲ)由,可得

进而

所以,

1
题型:简答题
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分值: 15分

17.(本小题满分15分)

如图,在三棱柱中,平面,点分别在棱和棱上,且为棱的中点.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求二面角的正弦值;

(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.

正确答案

依题意,以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得

(Ⅰ)证明:依题意,,从而,所以

(Ⅱ)解:依题意,是平面的一个法向量,.设为平面的法向量,则不妨设,可得

因此有,于是

所以,二面角的正弦值为

(Ⅲ)解:依题意,.由(Ⅱ)知为平面的一个法向量,于是

所以,直线与平面所成角的正弦值为

1
题型:简答题
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分值: 15分

19.(本小题满分15分)

已知为等差数列,为等比数列,

(Ⅰ)求的通项公式;

(Ⅱ)记的前项和为,求证:

(Ⅲ)对任意的正整数,设求数列的前项和.

正确答案

(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.由,可得,从而的通项公式为.由,又,可得,解得,从而的通项公式为

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得,故,从而,所以

(Ⅲ)解:当为奇数时,;当为偶数时,

对任意的正整数,有

.        ①

由①得.        ②

由①②得,从而得

因此,

所以,数列的前项和为

1
题型:简答题
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分值: 15分

18.(本小题满分15分)

已知椭圆的一个顶点为,右焦点为,且,其中为原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)已知点满足,点在椭圆上(异于椭圆的顶点),直线与以为圆心的圆相切于点,且为线段的中点.求直线的方程.

正确答案

(Ⅰ)由已知可得.记半焦距为,由可得.又由,可得.所以,椭圆的方程为

(Ⅱ)因为直线与以为圆心的圆相切于点,所以.依题意,直线和直线的斜率均存在.设直线的方程为.由方程组消去,可得,解得,或.依题意,可得点的坐标为.因为为线段的中点,点的坐标为,所以点的坐标为.由,得点的坐标为,故直线的斜率为,即.又因为,所以,整理得,解得,或

所以,直线的方程为,或

1
题型:简答题
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分值: 16分

20.(本小题满分16分)

已知函数的导函数.

(Ⅰ)当时,

(i)求曲线在点处的切线方程;

(ii)求函数的单调区间和极值;

(Ⅱ)当时,求证:对任意的,且,有

正确答案

(Ⅰ)(i)当时,,故.可得,所以曲线在点处的切线方程为,即

(ii)依题意,.从而可得,整理可得.令,解得

变化时,的变化情况如下表:

所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为的极小值为,无极大值.

(Ⅱ)证明:由,得

对任意的,且,令,则

.        ①

.当时,,由此可得单调递增,所以当时,,即

因为

所以,

.        ②

由(Ⅰ)(ii)可知,当时,,即

.        ③

由①②③可得.所以,当时,对任意的,且,有

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