• 2020年高考真题 数学 (天津卷)
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单选题 本大题共9小题,每小题5分,共45分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1

1.设全集,集合,则

A

B

C

D

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1

2.设,则“”是“”的

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

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1

3.函数的图象大致为

A

B

C

D

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1

4.从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:),将所得数据分为9组:

,并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间内的个数为

A10

B18

C20

D36

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1

5.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为

A

B

C

D

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1

6.设,则的大小关系为

A

B

C

D

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1

7.设双曲线的方程为,过抛物线的焦点和点的直线为.若的一条渐近线与平行,另一条渐近线与垂直,则双曲线的方程为

A

B

C

D

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1

8.已知函数.给出下列结论:

的最小正周期为

的最大值;

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数的图象.

其中所有正确结论的序号是

A

B①③

C②③

D①②③

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1

9.已知函数若函数恰有4个零点,则的取值范围是

A

B

C

D

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填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1

10.是虚数单位,复数_________.

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1

11.在的展开式中,的系数是_________.

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1

12.已知直线和圆相交于两点.若,则的值为_________.

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1

13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.

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1

14.已知,且,则的最小值为_________.

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1

15.如图,在四边形中,,且,则实数的值为_________,若是线段上的动点,且,则的最小值为_________.

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简答题(综合题) 本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1

16.(本小题满分14分)

中,角所对的边分别为.已知

(Ⅰ)求角的大小;

(Ⅱ)求的值;

(Ⅲ)求的值.

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1

17.(本小题满分15分)

如图,在三棱柱中,平面,点分别在棱和棱上,且为棱的中点.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求二面角的正弦值;

(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.

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1

18.(本小题满分15分)

已知椭圆的一个顶点为,右焦点为,且,其中为原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)已知点满足,点在椭圆上(异于椭圆的顶点),直线与以为圆心的圆相切于点,且为线段的中点.求直线的方程.

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1

19.(本小题满分15分)

已知为等差数列,为等比数列,

(Ⅰ)求的通项公式;

(Ⅱ)记的前项和为,求证:

(Ⅲ)对任意的正整数,设求数列的前项和.

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1

20.(本小题满分16分)

已知函数的导函数.

(Ⅰ)当时,

(i)求曲线在点处的切线方程;

(ii)求函数的单调区间和极值;

(Ⅱ)当时,求证:对任意的,且,有

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