2020年高考真题数学 (天津卷)

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单选题本大题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

1．设全集，集合，则

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2．设，则“”是“”的

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

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3．函数的图象大致为

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4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：

，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为

A10

B18

C20

D36

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5．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

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6．设，则的大小关系为

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7．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为

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8．已知函数．给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是的最大值；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．

其中所有正确结论的序号是

A①

B①③

C②③

D①②③

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9．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是

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填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。

10．是虚数单位，复数_________．

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11．在的展开式中，的系数是_________．

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12．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．

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13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

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14．已知，且，则的最小值为_________．

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15．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

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简答题（综合题）本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分14分）

在中，角所对的边分别为．已知．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求的值．

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17．（本小题满分15分）

如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

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18．（本小题满分15分）

已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．

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19．（本小题满分15分）

已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

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20．（本小题满分16分）

已知函数，为的导函数．

（Ⅰ）当时，

（i）求曲线在点处的切线方程；

（ii）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．

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