填空题
本大题共14小题,每小题4分,共56分。把答案填写在题中横线上。
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14.若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件:
①P、Q都在函数的图像上;
②P、Q关于原点对称,则答点对(P,Q)是函数的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“友好点对”)。
已知函数则此函数的“友好点对”有( )对。
分值: 4分
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简答题(综合题)
本大题共74分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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20.用平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器,如果在制作过程中材料无损耗,且材料的厚度忽略不计,底面半径长为x,圆锥母线的长为y。
(1)建立y与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)圆锥的母线与底面所成的角大小为,求所制作的圆锥容器容积多少立方米(精确到0.01m3)。
分值: 14分
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22.我们将具有下列性质的所有函数组成集合M:函数,对任意
均满足
,当且仅当
时等号成立。
(1)若定义在上的函数
大小;
(2)给定两个函数:证明:
(3)试利用(2)的结论解决下列问题:若实数m,n满足,求m+n的最大值。
分值: 16分
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23.定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆
(1)若椭圆判断C2与C1是否相似?如果相似,求出C2与C1的相似比;如果不相似,请说明理由;
(2)写出与椭圆C1相似且短轴半轴长为b的焦点在x轴上的椭圆Cb的标准方程;若在椭圆Cb上存在两点M、N关于直线对称,求实数b的取值范围?
(3)如图:直线与两个“相似椭圆”
分别交于点A,B和点C,D,试在椭圆M和椭圆
上分别作出点E和点F(非椭圆顶点),使
和
组成以
为相似的两个相似三角形,写出具体作法。(不必证明)
分值: 18分
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