数学 热门试卷

（1）由题意知，在区间内有不重复的零点

由，得

∵，∴

令，

故在区间上是增函数

其值域为，

∴ 的取值范围是

（2）∵，

由已知得：在区间上恒成立，

即    ①

当时，不等式①成立

当时，不等式①化为：

    ②

令，

由于二次函数的图像是开口向下的抛物线，

故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，

又

∴ 不等式②恒成立的充要条件是，

即，

，

∵ 这个关于的不等式在区间上有解，

∴ ， 

即，

，

又，故

从而，此时唯有符合条件

（1），

由，得． 

又，

由，得

，

．

又，

切点为．

存在与直线垂直的切线，

其方程为，

即

（2）．

由，得．

由，得．

在上有解．

在上有解

得在上有解，

． 

而，

当且仅当时取等号， ．

（3）证明：

．

令，

则，

当时，∵，

∴ ，单调递减，

 当时，． 

又当时，，

当．且时，，

即．

（Ⅰ），解得

（Ⅱ）

①当时，，

在区间上，

在区间上

故的单调递增区间是，单调递减区间是

②当时，

在区间和上，

在区间上

故的单调递增区间是和，单调递减区间是

③当时，，

故的单调递增区间是

④当时，

 在区间和上，

在区间上

故的单调递增区间是和，单调递减区间是

（Ⅲ）由已知，在上有

由已知，，由（Ⅱ）可知

①当时，在上单调递增

故

所以，，解得

故

②当时，在上单调递增，在上单调递减

故

由可知

所以，

综上所述， 的取值范围为

（1）

令，得

∵ 当时，

当时，

∴ 当时，

（2）

① 当时，恒有，在上是增函数

② 当时，令，得，解得

令，得，解得

综上，当时，在上是增函数

当时，

在上单调递增，在上单调递减

（3）

要证，即证

等价于证，令

则只要证，由知

故等价于证 （*）

① 设，则

故在上是增函数

∴ 当时，，即

② 设，则，故在上是增函数

∴ 当时，，即

由①②知（*）成立，得证

（1）在上是增函数，在上是减函数， 

的根，

又  

因为  ，所以

又因为  的根为因为 

所以，所以

又因为      

 所以

即      又   

所以

（2）因为，  

所以且

所以

（3）因为有三个根  

 所以

所以

又因为，

所以

当且仅当时取最小值，此时

所以