数学 杨浦区2014年高三试卷
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1.已知函数的图象与直线交于点P,若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为,则+…+的值为(    )

A-1

B1-log20132012

C-log20132012

D1

正确答案

A

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2.设曲线y=在点(1,0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直,则a=(    )

A      

B 

C-2

D2

正确答案

A

解析

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知识点

定义法求轨迹方程
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和抛物线y2 =-8x 的准线所围成的三角形(含边界与内部).若点(x,y) ∈ D,则x + y的最小值为(    )

A-1

B0

C1

D3

正确答案

B

解析

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知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则(    )

A64

B32

C16

D8

正确答案

A

解析

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知识点

定义法求轨迹方程
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6.设函数的定义域为,对于任意的,,则不等式的解集为(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

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知识点

函数的定义域及其求法
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.设函数,当自变量改变到时,函数的改变量为(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

11.若上是减函数,则b的取值范围是(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

12.曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(    )

A

B

C3

D

正确答案

B

解析

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知识点

定义法求轨迹方程
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3.如下图,阴影部分的面积是(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

定积分的简单应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

定义法求轨迹方程
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.若,则(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

任意角的概念
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.由曲线,直线所围成的平面图形的面积为(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

定积分的简单应用
填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.=____________

正确答案

解析

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知识点

函数的单调性及单调区间
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.设(其中为自然对数的底数),则= _________.

正确答案

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.已知直线相切,则实数k的值为_______ 。

正确答案

解析

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知识点

导数的几何意义
1
题型:填空题
|
分值: 5分

16.已知,若,则 =____________

正确答案

3

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

19.已知函数

(1)若函数在区间上不是单调函数,试求的取值范围;

(2)设函数,如果存在 ,对任意都有成立,试求的最大值.

正确答案

(1)由题意知,在区间内有不重复的零点

,得

,∴

在区间上是增函数

其值域为

∴ 的取值范围是

(2)∵

由已知得:在区间上恒成立,

    ①

时,不等式①成立

时,不等式①化为:

    ②

由于二次函数的图像是开口向下的抛物线,

故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得,

∴ 不等式②恒成立的充要条件是

∵ 这个关于的不等式在区间上有解,

∴ , 

,故

从而,此时唯有符合条件

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 12分

18.定义函数

(1)令函数的图象为曲线求与直线垂直的曲线的切线方程;

(2)令函数的图象为曲线,若存在实数b使得曲线

处有斜率为的切线,求实数a的取值范围;

(3)当,且时,证明

正确答案

(1)

,得. 

,得

切点为

存在与直线垂直的切线,

其方程为

(2)

,得

,得

上有解.

上有解

上有解,

. 

当且仅当时取等号,

(3)证明:

时,∵

∴ 单调递减,

 当时,. 

又当时,

.且时,

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 12分

22.已知函数

(Ⅰ)若曲线处的切线互相平行,求的值;

(Ⅱ)求的单调区间;

(Ⅲ)设,若对任意,均存在,使得,  求的取值范围。

正确答案

(Ⅰ),解得

(Ⅱ)

①当时,

在区间上,

在区间

的单调递增区间是,单调递减区间是

②当时,

在区间上,

在区间

的单调递增区间是,单调递减区间是

③当时,

的单调递增区间是

④当时,

 在区间上,

在区间

的单调递增区间是,单调递减区间是

(Ⅲ)由已知,在上有

由已知,,由(Ⅱ)可知

①当时,上单调递增

所以,,解得

②当时,上单调递增,在上单调递减

可知

所以

综上所述, 的取值范围为

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 12分

20.设函数

(1) 求函数的最小值;

(2) 设,讨论函数的单调性;

(3) 斜率为的直线与曲线交于两点,求证:

正确答案

(1)

,得

∵ 当时,

时,

∴ 当时,

(2)

① 当时,恒有上是增函数

② 当时,令,得,解得

,得,解得

综上,当时,上是增函数

时,

上单调递增,在上单调递减

(3)

要证,即证

等价于证,令

则只要证,由

故等价于证 (*)

① 设,则

上是增函数

∴ 当时,,即

② 设,则,故上是增函数

∴ 当时,,即

由①②知(*)成立,得证

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 12分

21.已知上是增函数,在上是减函数,且有三个根

(1)求的值,并求出的取值范围。

(2)求证

(3)求的取值范围,并写出当取最小值时的的解析式。

正确答案

(1)上是增函数,在上是减函数, 

的根,

  

因为  ,所以

又因为  的根为因为 

所以,所以

又因为      

 所以

      又   

所以

(2)因为,  

所以

所以

(3)因为有三个根  

 所以

所以

又因为

所以

当且仅当时取最小值,此时

所以

解析

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知识点

函数的概念及其构成要素
1
题型:简答题
|
分值: 10分

17.设函数时取得极值.

(1)求a、b的值;

(2)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.

正确答案

(1)

解得

(2)由(1)可知,

上递增,上递减,上递增

故当时,的最大值为

于是有,解得

因此的取值范围是

解析

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知识点

运用诱导公式化简求值

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