数学闵行区2017年高三第二次模拟考试

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试卷目录

1、填空题

2、单选题

3、简答题

真题试卷
模拟试卷

填空题本大题共11小题，每小题4分，共44分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 4分

5.若，且，则的值为．

正确答案

解析

解：∵已知，
又（x+2）n=（2+x）n =

∴b= ,c=,∵∴=4,∴n=8,a=

故答案为 16．

考查方向

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质

解题思路

按照二项式定理把（x+2）n 展开，再和已知条件作对照，，求得n的值,然后求a即可．

易错点

由列关于n的指数方程，求n的计算过程易出错.

题型：填空题

分值: 5分

7.若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是．

正确答案

解析

故答案为

考查方向

本题考查了函数的零点，函数的单调性和函数的值域.

解题思路

由零点的定义把函数的零点转化为方程的根，分离参数转化为求函数在闭区间上的值域，由函数的单调性即可求解.

易错点

判断函数的单调性时易出错.

题型：填空题

分值: 4分

4.直线（为参数）对应的普通方程是．

正确答案

解析

考查方向

本题考察参数方程与普通方程的互化.

解题思路

消掉参数t即可

易错点

消参数后转化为直线方程的一般形式的变形过程易出错.

题型：填空题

分值: 4分

1.方程的解是．

正确答案

x=4.

解析

方程化为：，解得 x=4.

经过验证满足条件。∴ 原方程的解为： x=4.

故答案为： x=4.

考查方向

本题考察对数式与指数式的互化.

解题思路

把对数方程化为指数方程，进而解出．

易错点

对数式化为指数式的过程易出错.

题型：填空题

分值: 4分

2.已知集合则．

正确答案

解析

考查方向

本题考察了绝对值不等式的解法和集合的运算.

解题思路

先化简集合A，即是解绝对值不等式，然后与集合N取交集即可

易错点

解绝对值不等式的过程易出错.

题型：填空题

分值: 4分

6.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是．

正确答案

解析

三视图知几何体为圆锥，底面半径r=2,高h=6，

母线长l=,

考查方向

本题考察几何体的三视图和面积的计算.

解题思路

由三视图知几何体为圆锥，求出底面半径和母线长即可求解.

易错点

由三视图复原成几何体并还原出所要的数据是易错点.

题型：填空题

分值: 5分

9.某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是．

正确答案

解析

在各路口是否遇到红灯是相互独立的 , 遇到红灯的概率都是 , 则这么学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯 , 即第一个路口遇到绿灯 , 第二个路口遇到红灯 , 由相互独立事件的同时发生得到所以概率为 ×= ；

故答案为：

考查方向

本题考察相互独立事件概率的乘法公式.

解题思路

这名学生在上学路上，在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这么学生在上学的路上到第二个路口时,第一次遇到红灯是指事件“这名学生在第一个路口没有遇到红灯，且在乙路口遇到红灯”，从而可求概率．

易错点

理解“在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯”这句话是解决问题的关键.

题型：填空题

分值: 5分

10.已知椭圆，其左、右焦点分别为，．若此椭圆上存在点，使到直线的距离是与的等差中项，则的最大值为．

正确答案

解析

设点横坐标为m，

因为点P到直线的距离是与的等差中项，

考查方向

本题考查了椭圆的定义以及几何性质和等差中项的概念.

解题思路

由到直线的距离是与的等差中项列方程，求出点P的横坐标，由横坐标的取值范围转化为求c和b的取值范围.

易错点

本题考查知识点较多，易错点也较多，注意椭圆定义的应用和椭圆上点的坐标的限定范围.

题型：填空题

分值: 5分

11.已知定点，动点在圆上，点关于直线的对称点为，向量，是坐标原点，则的取值范围是．

正确答案

解析

设 P(x,y), 则 P′(y,x),∵ ∴Q(y+1,x+1) ，

∴ =(y−x+1,x−y+1) ，

∴ ，

设 t=x−y, 则 ∵,∴,∴|t|⩽，

∴∈[, ].

故答案为[, ].

考查方向

本题考查直线与圆的方程、对称问题和向量模的运算.

解题思路

用坐标表示利用直线与圆的位置关系，即可求出的取值范围.

易错点

换元法求t的范围，利用直线与圆的位置，转化为不等式时易出错.

题型：填空题

分值: 5分

8.在约束条件下，目标函数的最大值为．

正确答案

解析

由 z=x+2y 得 y=−x+z ，

作出不等式组对应的平面区域如图 ( 阴影部分 ):

平移直线 y=−x 由图象可知当直线经过点 A(−1,5) 时，直线在 y 轴的截距最大，

此时 z 也最大，

代入目标函数 z=−1+2×5=9 ，

即目标函数的最大值为 9 ；

故答案为： 9.

考查方向

本题考查了不等式表示的平面区域，以及目标函数求最值的问题.

解题思路

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可

易错点

数形结合求目标函数的最值时要注意目标函数的斜率.

题型：填空题

分值: 5分

12.已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和___．

正确答案

1009

解析

由题意可知，数列的每一项都是正数，仍是数列中的项

考查方向

本题考查归纳推理和数列的递推以及等差数列的定义和求和公式.

解题思路

由特殊到一搬按要求总结规律，会发现此数列是等差数列，然后利用等差数列的前n项和公式即可求解.

易错点

本题对推理能力要求较高，在归纳推理的过程中必须始终保持头脑清醒，考虑全面.

单选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

13.设分别是两条异面直线的方向向量，向量的夹角的取值范围为，所成的角的取值范围为，则“”是“”的 ( )

A充要条件

B充分不必要条件

C必要不充分条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

所成的角的取值范围为，

向量的夹角的取值范围为，故选C

考查方向

本题考查异面直线所成角和向量所成角的关系，简易逻辑.

解题思路

弄清集合A与集合B的具体含义，有相互之间包含的关系即可判断.

易错点

一定要先确定谁是条件，由条件推结论，成立就是充分的，反过来推，成立就是必要的，若条件与结论颠倒了，会出现判断错误.

题型：单选题

分值: 5分

14.将函数图像上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图像上，则 ( )

A，的最小值为

B，的最小值为

C，的最小值为

D，的最小值为

正确答案

解析

将代入得，所以，所以，又因为在上，即，所以或（），即或（），因为，所以。

故本题正确答案为A

考查方向

本题主要考查三角函数的图象和性质.

解题思路

将点P代入函数解析式，求出t的值，然后由题意列方程求解即可.

易错点

解三角方程时容易考虑不全，导致错误.

题型：单选题

分值: 5分

16.设函数的定义域是，对于以下四个命题：

（1）若是奇函数，则也是奇函数；

（2）若是周期函数，则也是周期函数；

（3）若是单调递减函数，则也是单调递减函数；

（4）若函数存在反函数，且函数有零点，

则函数也有零点．

其中正确的命题共有 ( )

A1个

B2个

C3个

D4个

正确答案

解析

（1）若y=f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x），∴f（f（-x））=f（-f（x））=-f（f（x）），也是奇函数，正确；
（2）若y=f（x）是周期函数，则f（x+T）=f（x），f（f（x+T））=f（f（x））也是周期函数，正确；
（3）若y=f（x）是单调递减函数，则y=f（f（x））是单调递增函数，不正确；
（4）若函数y=f（x）存在反函数y=f -1（x），且函数y=f（x）-f -1（x）有零点，即y=f（x）与y=f -1（x）有交点，则函数y=f（x）-x也有零点，正确．
故选C．

考查方向

本题考查了函数的奇偶性，周期性，单调性和反函数的性质.

解题思路

对4个选项分别进行判断，即可得出结论．

易错点

复合函数单调性的判断易出错.

题型：单选题

分值: 5分

15.某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如下图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，

则 ( )

A①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）

B①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）

C②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）

D④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）

正确答案

解析

四个图中的点均表示乘客量为时的收支差额，即纯支出费用，而车票价格则对应函数的斜率，因此对于建议（1），减少支出费用，车票价格不变，则函数图象向上平移，①符合；对于建议（2），支出费用不变，提高车票价格，则点不变，函数斜率增大，③符合，因此①反映了建议（1），③反映了建议（2）

故本题正确答案为B

考查方向

本题主要考查函数的图象。

解题思路

审清题意，由图象的意义逐项看备选答案即可解决

易错点

深刻理解题意和函数图象表示的具体含义就一定不会出错.

简答题（综合题）本大题共76分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 14分

直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，, 是侧棱上一点，设．

17.若，求的值；

18.若，求直线与平面所成的角．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则,，， ……………………2分

， ……………………4分

由得，即

解得．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

考查方向

本题考察了空间想象能力和直线与平面的位置关系，用向量运算解决立体几何问题的能力.

解题思路

直接求不好求，可以建立空间直角坐标系，计算即可；第二问先看能否找到直线与平面所成的角，能找到就利用解法二，找不到就利用向量法计算.

易错点

寻找直线与平面所成的角是本题的难点，传统几何方法可以必须先证明线面垂直，也可以利用空间直角坐标系中的法向量法来解决，不管哪种方法，都要注意计算的准确度.

(2) 解法一：此时

……………8分

设平面的一个法向量为

由得

所以 ……………………10分

设直线与平面所成的角为

则 ……………12分

所以

所以直线与平面所成的角为 ………………14分

解法二：联结，则，

，平面 …………………8分

平面

所以是直线与平面所成的角； ……………………10分

在中，

所以 ……………………12分

所以

所以直线与平面所成的角为 ………………14分

题型：简答题

分值: 18分

已知是上的奇函数，，且对任意，都成立．

26.求、的值；

27.设，求数列的递推公式和通项公式；

28.记，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），

解析

（1）对等式，

令

所以 ……………………………2分

令,

所以 ……………………………4分

考查方向

本题考查了函数与数列的关系、数列的递推和求和、数列的极限，考查了推理能力与计算能力，是综合题目．

解题思路

由函数转化为数列的递推式，然后利用叠乘法求通项，第三问结合组合数公式求和，再求极限.

易错点

第三问是本题的难点也是易错点，注意组合数公式的逆用.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）数列的递推公式为，数列的通项公式为．

（2）取，可得，………………6分

即，

所以

所以数列的递推公式为 ……………………………8分

故 ………………10分

所以数列的通项公式为． …………………12分

考查方向

本题考查了函数与数列的关系、数列的递推和求和、数列的极限，考查了推理能力与计算能力，是综合题目．

解题思路

由函数转化为数列的递推式，然后利用叠乘法求通项，第三问结合组合数公式求和，再求极限.

易错点

第三问是本题的难点也是易错点，注意组合数公式的逆用.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）0

解析

（3）由（2）代入得

……14分

……16分

则 ……………………………18分

考查方向

本题考查了函数与数列的关系、数列的递推和求和、数列的极限，考查了推理能力与计算能力，是综合题目．

解题思路

由函数转化为数列的递推式，然后利用叠乘法求通项，第三问结合组合数公式求和，再求极限.

易错点

第三问是本题的难点也是易错点，注意组合数公式的逆用.

题型：简答题

分值: 14分

设函数，函数的图像与函数的图像关于轴对称．

19.若，求的值；

20.若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（1）由得 ……………………2分

所以（舍）或， ……………………4分

所以 ……………………6分

考查方向

本题考察了函数的对称性，指数不等式和均值不等式.

解题思路

由函数的图像与函数的图像关于轴对称,求出的解析式代入求解即可；第二问，把不等式具体化，分离参数后通过解指数不等式即可解得a的取值范围.

易错点

第二问指数不等式的变形易出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（2）由得 ……………………8分

……………………10分

而，当且仅当时取等号…12分

所以，所以．………………………………14分

考查方向

本题考察了函数的对称性，指数不等式和均值不等式.

解题思路

由函数的图像与函数的图像关于轴对称,求出的解析式代入求解即可；第二问，把不等式具体化，分离参数后通过解指数不等式即可解得a的取值范围.

易错点

第二问指数不等式的变形易出错.

题型：简答题

分值: 14分

如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．

21.若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和AC的长度分别为多少米？

22.在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)和AC的长度分别为750米和1500米

解析

（1）设长为米，长为米，依题意得，

即， ………………………………2分

…………………………4分

当且仅当，即时等号成立，

所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米……6分

考查方向

本题考察了三角函数和向量的实际应用问题.

解题思路

解答应用问题的步骤是设、列、解、答，设出所求，有题意式子转化为代数问题，在利用均值不等式求最值；第二步可以用向量，也可以转化为三角形内部的正弦定理和余弦定理.

易错点

读懂题意，把实际问题转化为数学问题，并注意计算的准确度.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)还需要万元．

解析

（2）在(1)的条件下，因为．

由 …………………………8分

得

…………………………10分

， …………………………12分

元

所以，建水上通道还需要万元． …………………………14分

解法二：在中，

………8分

在中，

…………………………10分

在中，

= …………12分

元

所以，建水上通道还需要万元． …………………………14分

解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，

,即，设 ………8分

由，求得，所以 …………10分

所以，……………………12分

元

所以，建水上通道还需要万元． …………………………14分

考查方向

本题考察了三角函数和向量的实际应用问题.

解题思路

易错点

读懂题意，把实际问题转化为数学问题，并注意计算的准确度.

题型：简答题

分值: 16分

设直线与抛物线相交于不同两点，与圆相切于点，且为线段的中点．

23. 若是正三角形（为坐标原点），求此三角形的边长；

24.若，求直线的方程；

25.试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（只需直接写出结果）．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)

解析

(1)设的边长为，则的坐标为………2分

所以所以

此三角形的边长为． ……………………………4分

解题思路

（1）用所求的边长表示所求的坐标代入抛物线方程即可。【考查方向】本题考察了直线与圆的位置关系和抛物线的方程，用代数方法解决几何问题的数学思想.

易错点

第二问中的代数运算易出错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)

解析

(2)设直线

当时，符合题意 ……………………………6分

当时， …………………8分

，舍去

综上所述，直线的方程为： ……………………………10分

解题思路

（2）联立方程组转化为一元二次方程，借助于一元二次方程的判别式和韦达定理解决【考查方向】本题考察了直线与圆的位置关系和抛物线的方程，用代数方法解决几何问题的数学思想.

易错点

第二问中的代数运算易出错.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

(3) 时，共2条；时，共4条；时，共1条．

解析

(3)时，共2条；……………………………12分

时，共4条； ……………………………14分

时，共1条． ……………………………16分

考查方向

本题考察了直线与圆的位置关系和抛物线的方程，用代数方法解决几何问题的数学思想.

解题思路

（3）分论讨论直接得结论即可.

易错点

第二问中的代数运算易出错.

数学 热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

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易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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正确答案

考查方向

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